Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№415 учебника 2023-2025 (стр. 100):
Упростите выражение:
а) \(\sqrt{8p} - \sqrt{2p} + \sqrt{18p};\)
б) \(\sqrt{160c} + 2\sqrt{40c} - 3\sqrt{90c};\)
в) \(5\sqrt{27m} - 4\sqrt{48m} - 2\sqrt{12m};\)
г) \(\sqrt{54} - \sqrt{24} + \sqrt{150};\)
д) \(3\sqrt{2} + \sqrt{32} - \sqrt{200};\)
е) \(2\sqrt{72} - \sqrt{50} - 2\sqrt{8}.\)
№415 учебника 2013-2022 (стр. 99):
Сравните значения выражений:
а) \(\frac13\sqrt{351}\) и \(\frac12\sqrt{188}\);
б) \(\frac13\sqrt{54}\) и \(\frac15\sqrt{150}\);
в) \(\sqrt{24}\) и \(\frac13\sqrt{216}\);
г) \(\frac23\sqrt{72}\) и \(7\sqrt{\frac23}\).
№415 учебника 2023-2025 (стр. 100):
Вспомните:
№415 учебника 2013-2022 (стр. 99):
Вспомните:
№415 учебника 2023-2025 (стр. 100):
а) \(\sqrt{8p} - \sqrt{2p} + \sqrt{18p}=\)
\(=\sqrt{4\cdot2p} - \sqrt{2p} + \sqrt{9\cdot2p}=\)
\(=2\sqrt{2p} - \sqrt{2p} + 3\sqrt{2p}=\)
\(= (2 - 1 + 3)\sqrt{2p} = 4\sqrt{2p}. \)
б) \(\sqrt{160c} + 2\sqrt{40c} - 3\sqrt{90c}=\)
\(=\sqrt{16\cdot10c} + 2\sqrt{4\cdot10c} - 3\sqrt{9\cdot10c}=\)
\(=4\sqrt{10c} + 2\cdot2\sqrt{10c} - 3\cdot3\sqrt{10c}=\)
\(= (4 + 4 - 9)\sqrt{10c} = -\sqrt{10c}. \)
в) \(5\sqrt{27m} - 4\sqrt{48m} - 2\sqrt{12m}=\)
\(=5\sqrt{9\cdot3m} - 4\sqrt{16\cdot3m} - 2\sqrt{4\cdot3m}=\)
\(=5\cdot3\sqrt{3m} - 4\cdot4\sqrt{3m} - 2\cdot2\sqrt{3m}=\)
\(=15\sqrt{3m} - 16\sqrt{3m} - 4\sqrt{3m}=\)
\(=(15 - 16 - 4)\sqrt{3m}=-5\sqrt{3m}.\)
г) \(\sqrt{54} - \sqrt{24} + \sqrt{150}=\)
\(=\sqrt{9\cdot6} - \sqrt{4\cdot6} + \sqrt{25\cdot6}=\)
\(=3\sqrt{6} - 2\sqrt{6} + 5\sqrt{6}=\)
\(=(3 - 2 + 5)\sqrt{6}=6\sqrt{6}\)
д) \(3\sqrt{2} + \sqrt{32} - \sqrt{200}=\)
\(=3\sqrt{2} + \sqrt{16\cdot2} - \sqrt{100\cdot2}=\)
\(=3\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - 10\sqrt{2}=\)
\(=(3 + 4 - 10)\sqrt{2}=-3\sqrt{2}.\)
е) \(2\sqrt{72} - \sqrt{50} - 2\sqrt{8}=\)
\(=2\sqrt{36\cdot2} - \sqrt{25\cdot2} - 2\sqrt{4\cdot2}=\)
\(=2\cdot6\sqrt{2} - 5\sqrt{2} - 2\cdot2\sqrt{2}=\)
\(=12\sqrt{2} - 5\sqrt{2} - 4\sqrt{2}=\)
\(=(12 - 5 - 4)\sqrt{2}=3\sqrt{2}.\)
Пояснения:
– Использовано свойство извлечения множителя из-под корня:
\( \sqrt{m n}=\sqrt{m}\cdot\sqrt{n}\).
– Чтобы вынести множитель из-под корня, раскладываем подкоренное выражение на произведение, и извлекаем корень из тех множителей, которые являются квадратом какого-либо числа.
– После извлечения множителя из-под корня все слагаемые оказались в виде \(k\sqrt p\) с одинаковым \(p\), что позволило вынести общий множитель \(\sqrt p\) за скобки и упростить выражение.
№415 учебника 2013-2022 (стр. 99):
а) \(\frac13\sqrt{351} < \frac12\sqrt{188}\)
\(\sqrt{(\frac13)^2\cdot351} < \sqrt{(\frac12)^2\cdot188}\)
\(\sqrt{\frac19\cdot351} < \sqrt{\frac14\cdot188}\)
\(\sqrt{\frac{351}{9}} < \sqrt{\frac{188}{4}}\)
\(\sqrt{39} < \sqrt{47}\)
б) \(\frac13\sqrt{54} = \frac15\sqrt{150}\)
\(\sqrt{(\frac13)^2\cdot54} = \sqrt{(\frac15)^2\cdot150}\)
\(\sqrt{\frac19\cdot54} = \sqrt{\frac{1}{25})\cdot150}\)
\(\sqrt{\frac{54}{9}} = \sqrt{\frac{150}{25}}\)
\(\sqrt{6} = \sqrt{6}\)
в) \(\sqrt{24} = \frac13\sqrt{216}\)
\(\sqrt{24} = \sqrt{(\frac13)^2\cdot216}\)
\(\sqrt{24} = \sqrt{\frac19\cdot216}\)
\(\sqrt{24} = \sqrt{\frac{216}{9}}\)
\(\sqrt{24} = \sqrt{24} \)
г) \(\frac23\sqrt{72} < 7\sqrt{\frac23}\)
\(\sqrt{(\frac23)^2\cdot72} < \sqrt{7^2\cdot\frac23}\)
\(\sqrt{\frac{ 4}{_1 \cancel9}\cdot\cancel{72} ^8} < \sqrt{49\cdot\frac23}\)
\(\sqrt{32} < \sqrt{\frac{98}{3}}\)
\(\sqrt{32} < \sqrt{32\frac{2}{3}}\)
Пояснения:
Использованные приемы:
- Чтобы внести числовой множитель \(k\) под знак корня, каждый внешний числовой множитель \(k\) возводят в квадрат и умножают на подкоренное выражение:
\( k\sqrt{A} = \sqrt{k^2\cdot A}. \)
- Сравнение корней:
\(\sqrt{a} > \sqrt{b}\), если \(a > b\).
Вернуться к содержанию учебника