Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№417 учебника 2023-2025 (стр. 100):
Выполните действия:
а) \((2\sqrt5 + 1)(2\sqrt5 - 1)\);
б) \((5\sqrt7 - \sqrt{13})(\sqrt{13} + 5\sqrt7)\);
в) \((3\sqrt2 - 2\sqrt3)(2\sqrt3 + 3\sqrt2)\);
г) \((1 + 3\sqrt5)^2\);
д) \((2\sqrt3 - 7)^2\);
е) \((2\sqrt{10} - \sqrt2)^2\).
№417 учебника 2013-2022 (стр. 99):
(Задача-исследование.) Проверить, верны ли равенства
\( \sqrt{2\frac{2}{3}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}},\)
\(\sqrt{3\frac{2}{3}} = 3\sqrt{\frac{3}{8}},\)
\(\sqrt{4\frac{4}{15}} = 4\sqrt{\frac{4}{15}}. \)
Выяснить, каким должно быть соотношение между натуральными числами \(a\) и \(b\), чтобы было верно равенство
\( \sqrt{\,a + \frac{a}{b}\,} \;=\; a\sqrt{\frac{a}{b}}, \)
где \(a\in\mathbb{N},\ b\in\mathbb{N}. \)
1) Возведите в квадрат обе части равенства.
2) Установите, каким должно быть соотношение между числами \(a\) и \(b\).
3) Проиллюстрируйте правильность вашего вывода на примерах.
№417 учебника 2023-2025 (стр. 100):
Вспомните:
№417 учебника 2013-2022 (стр. 99):
Вспомните:
№417 учебника 2023-2025 (стр. 100):
а) \((2\sqrt5 + 1)(2\sqrt5 - 1) = \)
\(=(2\sqrt5)^2 - 1^2 =4\cdot5 - 1 =\)
\(=20 - 1 = 19.\)
б) \((5\sqrt7 - \sqrt{13})(\sqrt{13} + 5\sqrt7) =\)
\(=(5\sqrt7)^2 - (\sqrt{13})^2 = 25\cdot7 - 13 =\)
\(=175 - 13 = 162.\)
в) \((3\sqrt2 - 2\sqrt3)(2\sqrt3 + 3\sqrt2) =\)
\(=(3\sqrt2)^2 - (2\sqrt3)^2 = 9\cdot2 - 4\cdot3 =\)
\(=18 - 12 = 6.\)
г) \((1 + 3\sqrt5)^2 =\)
\(=1^2 + 2\cdot1\cdot3\sqrt5 + (3\sqrt5)^2 =\)
\(=1 + 6\sqrt5 + 9\cdot5 =\)
\(=1 + 6\sqrt5 + 45 = 46 + 6\sqrt5.\)
д) \((2\sqrt3 - 7)^2 =\)
\(=(2\sqrt3)^2 - 2\cdot2\sqrt3\cdot7 + 7^2 =\)
\(=4\cdot3 - 28\sqrt3 + 49 = \)
\(=12 + 49 - 28\sqrt3 = 61 - 28\sqrt3.\)
е) \((2\sqrt{10} - \sqrt2)^2 = \)
\(=(2\sqrt{10})^2 - 2\cdot2\sqrt{10}\cdot\sqrt2 + (\sqrt2)^2=\)
\(= 4\cdot10 - 4\sqrt{20} + 2 = \)
\(= 40 - 4\sqrt{4\cdot5} + 2 = \)
\(=40 + 2 - 4\cdot2\sqrt5 = 42 - 8\sqrt5.\)
Пояснения:
Использованные формулы и приемы:
– Формула разности квадратов:
\( (a+b)(a-b)=a^2-b^2. \)
– Формулы квадрата суммы и квадрата разности:
\( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);
\( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
– Свойства корня:
\((\sqrt{a})^2 = a\);
\(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}\).
– Квадрат произведения:
\(\bigl(k\sqrt{a}\bigr)^2 = k^2a\).
№417 учебника 2013-2022 (стр. 99):
\( \sqrt{a + \frac{a}{b}\,} = a\sqrt{\frac{a}{b}}\)
\( \Bigl(\sqrt{a + \frac{a}{b}}\Bigr)^2 = \Bigl(a\sqrt{\frac{a}{b}}\Bigr)^2\)
\( a + \frac{a}{b} = a^{2}\cdot\frac{a}{b} \)
\( a + \frac{a}{b}= \frac{a^{3}}{b} \) /\(\times{b}\)
\( a\,b + a = a^{3} \)
\(a(b+1) = a^{3} \) / \( : a\)
\( b + 1 = a^{2} \)
\(b = a^{2} - 1. \)
Вывод:
Если \(b = a^{2} - 1\), то
\(\sqrt{\,a + \frac{a}{b}\,} = a\sqrt{\frac{a}{b}}\)
Примеры:
1) \( \sqrt{2\frac{2}{3}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}}\)
\( \sqrt{2 + \frac{2}{3}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}}\)
\(a=2\), тогда
\(b = 2^{2}-1 =4-1= 3\).
\(\sqrt{2+\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}} =\sqrt{4\cdot\frac{2}{3}}=\)
\(=\sqrt{4}\cdot\sqrt{\frac{2}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}.\)
2) \(\sqrt{3\frac{2}{3}} = 3\sqrt{\frac{3}{8}},\)
\(\sqrt{3+\frac{2}{3}} = 3\sqrt{\frac{3}{8}},\)
\(a=3\), тогда
\(b = 3^{2}-1 =9-1= 8\)
\(\sqrt{3+\frac{3}{8}} = \sqrt{\frac{27}{8}}=\sqrt{9\cdot\frac{3}{8}}= \)
\(=\sqrt{9}\cdot\sqrt{\frac{3}{8}}= 3\sqrt{\frac{3}{8}}.\)
3) \(\sqrt{4\frac{4}{15}} = 4\sqrt{\frac{4}{15}} \)
\(\sqrt{4+\frac{4}{15}} = 4\sqrt{\frac{4}{15}}. \)
\(a=4\), тогда
\(b = 4^{2}-1 =16 - 1= 15\)
\(\sqrt{4+\frac{4}{15}} = \sqrt{\frac{64}{15}}=\sqrt{16\cdot\frac{4}{15}} =\)
\(=\sqrt{16}\cdot\sqrt{\frac{4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}}.\)
Пояснения:
Использованные приемы:
- Запись смешанного числа:
\(a + \frac{b}{c} = a\frac{b}{c} \).
- Свойство степени:
\((ab)^n = a^nb^n\).
- Свойства корня:
\((\sqrt{a})^2 = a\);
\(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\).
Вернуться к содержанию учебника