Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№418 учебника 2023-2025 (стр. 100):
Выполните действия:
а) \(\bigl(\sqrt{4 + \sqrt{7}} + \sqrt{4 - \sqrt{7}}\bigr)^2;\)
б) \(\bigl(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} - \sqrt{5 - 2\sqrt{6}}\bigr)^2.\)
№418 учебника 2013-2022 (стр. 100):
(Для работы в парах.) Площадь треугольника \(S\) см² со сторонами \(a\) см, \(b\) см и \(c\) см можно вычислить по формуле Герона:
\[ S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}, \]
где \(p\) — полупериметр треугольника.
Пользуясь калькулятором, найдите площадь треугольника, стороны которого равны:
а) \(12\) см, \(16\) см, \(24\) см;
б) \(18\) см, \(22\) см, \(26\) см.
1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто - задание б), и выполните вычисления.
2) Проверьте друг у друга правильность вычислений.
3) Обсудите, как изменится площадь треугольника, если каждую из его сторон увеличить в 2 раза. Выскажите предположение и выполните необходимые преобразования.
№418 учебника 2023-2025 (стр. 100):
Вспомните:
№418 учебника 2013-2022 (стр. 100):
Вспомните:
№418 учебника 2023-2025 (стр. 100):
а) \( \bigl(\sqrt{4+\sqrt7} + \sqrt{4-\sqrt7}\bigr)^2 =\)
\(=\bigl(\sqrt{4+\sqrt7}\bigr)^2 + 2\cdot\sqrt{4+\sqrt7}\cdot\sqrt{4-\sqrt7} + \bigl(\sqrt{4-\sqrt7}\bigr)^2=\)
\(=(4+\sqrt7) + 2\sqrt{(4+\sqrt7)(4-\sqrt7)} + (4-\sqrt7)=\)
\(=4+\cancel{\sqrt7} + 2\sqrt{4^2-(\sqrt7)^2} + 4-\cancel{\sqrt7}=\)
\(=8 + 2\sqrt{16-7}=8 + 2\sqrt{9} = \)
\(=8 + 2\cdot3 = 8+ 6 = 14. \)
б) \( \bigl(\sqrt{5+2\sqrt6} - \sqrt{5-2\sqrt6}\bigr)^2 =\)
\(=\bigl(\sqrt{5}+2\sqrt6\bigr)^2 - 2\cdot\sqrt{5+2\sqrt6}\cdot\sqrt{5-2\sqrt6} +\bigl(\sqrt{5}-2\sqrt6\bigr)^2= \)
\(=(5+2\sqrt6) - 2\sqrt{(5+2\sqrt6)(5-2\sqrt6)} + (5-2\sqrt6)=\)
\(=5+\cancel{2\sqrt6} - 2\sqrt{5^2-(2\sqrt6)^2} + 5-\cancel{2\sqrt6}=\)
\(=10 - 2\sqrt{25-4\cdot6} =\)
\(=10 - 2\sqrt{25-24}=10 - 2\sqrt{1} = \)
\(=10 - 2\cdot1 = 10 - 2 = 8. \)
Пояснения:
Использованные формулы и приемы:
– Формула разности квадратов:
\( (a+b)(a-b)=a^2-b^2. \)
– Формулы квадрата суммы и квадрата разности:
\( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);
\( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
– Свойства корня:
\((\sqrt{a})^2 = a\);
\(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}\).
– Квадрат произведения:
\(\bigl(k\sqrt{A}\bigr)^2 = k^2A\).
№418 учебника 2013-2022 (стр. 100):
\( S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}, \)
где \(p\) — полупериметр треугольника.
1) а) Если \(a=12\), \(b=16\), \(c=24\), то
\( p = \frac{12 + 16 + 24}{2} =\frac{52}{2}= 26. \)
\(S = \sqrt{26\,(26-12)\,(26-16)\,(26-24)} = \)
\(=\sqrt{26\cdot14\cdot10\cdot2} = \sqrt{7280} \approx 85{,}3\) (см2)
б) Если \(a=18\), \(b=22\), \(c=26\), то
\( p = \frac{18 + 22 + 26}{2} = 33. \)
\( S = \sqrt{33\,(33-18)\,(33-22)\,(33-26)} = \)
\(=\sqrt{33\cdot15\cdot11\cdot7} = \sqrt{38115} \approx 195{,}2\) (см2).
3) Пусть \(a\), \(b\), \(c\) - стороны первого треугольника, тогда его полупериметр
\(p_1 = \frac{a + b + c}{2}\),
а площадь
\( S_1 = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}. \)
Тогда \(2a\), \(2b\), \(2c\) - стороны второго треугольника, тогда его полупериметр
\(p_2 = \frac{2a + 2b + 2c}{2}=\)
\(=\frac{2(a + b + c)}{2} = 2p_1\),
а площадь
\( S_2 = \sqrt{p_2(p_2 - 2a)(p_2 - 2b)(p_2 - 2c)}= \)
\(=\sqrt{2p_1(2p_1 - 2a)(2p_1 - 2b)(2p_1 - 2c)}=\)
\(=\sqrt{2p_1\cdot2(p_1 - a)\cdot2(p_1 - b)\cdot2(p_1 - c)}=\)
\(=\sqrt{16p_1(p_1 - a)(p_1 - b)(p_1 - c)}=\)
\(=\sqrt{16}\sqrt{p_1(p_1 - a)(p_1 - b)(p_1 - c)}=\)
\(=4S_1\)
Ответ: площадь треугольника увеличится в 4 раза.
Пояснения:
– Полупериметр \(p\) определяется как половина суммы сторон.
– В формуле Герона подкоренное выражение всегда неотрицательно для любой тройки сторон, удовлетворяющих неравенству треугольника.
– При увеличении всех сторон в \(k\) раз полупериметр умножается на \(k\), а под корнем получается множитель \(k^4\), откуда площадь увеличивается в \(k^2\) раза.
– Для \(k=2\) новая площадь \(S_2 = 4S_1\): при удвоении сторон площадь возрастает в 4 раза.
– Свойство корня:
\(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\).
Вернуться к содержанию учебника