Упражнение 396 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\displaystyle \sqrt{20 736} = \sqrt{2^8\cdot3^4} =\)

\(=\sqrt{(2^4)^2}\cdot\sqrt{(3^2)^2}= |2^4|\cdot|3^2| =\)

\(=16\cdot9 = 144.\)

б) \(\displaystyle \sqrt{50 625} = \sqrt{3^4\cdot5^4} =\)

\(=\sqrt{(3^2)^2}\cdot\sqrt{(3^2)^2}= |3^2|\cdot|5^2| =\)

\(=9\cdot25 = 225.\)

в) \(\displaystyle \sqrt{28 224} = \sqrt{2^6\cdot3^2\cdot7^2} = \)

\(= \sqrt{(2^3)^2}\cdot\sqrt{3^2}\cdot\sqrt{7^2}=\)

\(=|2^3|\cdot|3|\cdot|7| =8\cdot3\cdot7 = 168.\)

г) \(\displaystyle \sqrt{680 625} = \sqrt{3^2\cdot5^4\cdot11^2} =\)

\(=\sqrt{3^2}\cdot\sqrt{(5^2)^2}\cdot\sqrt{11^2}=\)

\(=|3|\cdot|5^2|\cdot|11| =3\cdot25\cdot11 = 825.\)

Пояснения:

– Свойство корня из степени:

\( \sqrt{(x^n)^2} = |x^n|.\)

– Свойство корня из произведения:

\(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\).

– Свойство степени:

\((a^m)^n = a^{mn}\).

– Определение модуля:

\(|a| = a\), при \(a \ge 0\);

\(|a| = -a\), при \(a \le 0\).

– В каждом случае разложили число на простые множители, сгруппировали их в чётные степени и вынесли из-под корня.

– Конечный результат получен перемножением вынесенных из-под корня простых степеней.

а) \(\sqrt{a^2} = |a| = a\), если \(a>0\);

б) \(\sqrt{n^2} = |n|=-n\), если \(n<0\);

в) \(3\sqrt{c^2}=3|c|=3c\), если \(c\ge0\);

г) \(-5\sqrt{y^2} = -5|y|=-5y\),

если \(y>0\);

д) \(\sqrt{36x^2}=|6x|=-6x\),

если \(x\le0\);

е) \(-\sqrt{9y^2} = -|3y| = -(-3y) = 3y\),

если \(y<0\);

ж) \(-5\sqrt{4x^2}=-5\cdot|2x|=\)

\(=-5\cdot2x = -10x\), если \(x\ge0\);

з) \(0{,}5\sqrt{16a^2} = 0,5\cdot|4a|=\)

\(=0,5\cdot(-4a) = -2a\), если \(a<0\).

Пояснения:

1) Свойства квадратного корня:

\( \sqrt{x^2} = |x| = x, \) если \(x\ge0\);

\( \sqrt{x^2} = |x| = -x, \) если \(x<0\);

\(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\).

2) Если перед корнем стоит множитель \(k\), то

\( k\sqrt{x^2} = k\cdot|x|. \)