Упражнение 397 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \sqrt{2304} = \sqrt{2^8 \cdot 3^2} =\)

\(=\sqrt{(2^4)^2}\cdot \sqrt{3^2} = |2^4|\cdot|3| =\)

\(=16\cdot3 = 48. \)

б) \( \sqrt{18225} = \sqrt{3^6\cdot5^2} =\)

\(= \sqrt{(3^3)^2}\cdot \sqrt{5^2} = |3^3|\cdot|5| = \)

\(=27\cdot5 = 135. \)

в) \( \sqrt{254016} = \sqrt{2^6\cdot3^4\cdot7^2} =\)

\(=\sqrt{(2^3)^2}\cdot\sqrt{(3^2)^2}\cdot\sqrt{7^2} =\)

\(=|2^3|\cdot|3^2|\cdot|7| = 8\cdot9\cdot7 = 504. \)

Пояснения:

– Свойство корня из степени:

\( \sqrt{(x^n)^2} = |x^n|.\)

– Свойство корня из произведения:

\(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\).

– Свойство степени:

\((a^m)^n = a^{mn}\).

– Определение модуля:

\(|a| = a\), при \(a \ge 0\);

\(|a| = -a\), при \(a \le 0\).

– В каждом случае разложили число на простые множители, сгруппировали их в чётные степени и вынесли из-под корня.

– Конечный результат получен перемножением вынесенных из-под корня простых степеней.

\( \sqrt{a^2 - 4a + 4} = \sqrt{(a - 2)^2} =\)

\(=\bigl|a - 2\bigr| \)

а) Если \(0 \le a < 2\), то

\(a - 2 < 0\), значит

\(\lvert a - 2\rvert =-(a-2) = 2 - a\).

Ответ: \(2 - a\).

б) Если \(a \ge 2\), то

\(a - 2 \ge 0\), значит

\(\lvert a - 2\rvert = a - 2\).

Ответ: \(a - 2\).

Пояснения:

1) Использовано свойство корня:

\( \sqrt{x^2} = |x| = x, \) если \(x\ge0\);

\( \sqrt{x^2} = |x| = -x, \) если \(x<0\).

2) Подкоренное выражение

\(a^2 - 4a + 4\) согласно формуле квадрата разности двух выражений можно записать как: \((a - 2)^2\).

3) Модуль \(\lvert a - 2\rvert\) заменяется на

\(2 - a\), если \(a - 2 < 0\),

\(a - 2\), если \(a - 2 \ge 0\).