Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№393 учебника 2023-2025 (стр. 93):
Упростите выражение:
а) \(\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}\);
б) \(\sqrt{6 - 2\sqrt{5}}\);
в) \(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}\);
г) \(\sqrt{3 - \sqrt{8}}\).
№393 учебника 2013-2022 (стр. 95):
Вычислите:
а) \(\sqrt{(0{,}1)^2}\);
б) \(\sqrt{\bigl(-0{,}4\bigr)^2}\);
в) \(\sqrt{\bigl(-0{,}8\bigr)^2}\);
г) \(\sqrt{(1{,}7)^2}\);
д) \(\sqrt{\bigl(-19\bigr)^2}\);
е) \(\sqrt{24^2}\);
ж) \(2\sqrt{\bigl(-23\bigr)^2}\);
з) \(5\sqrt{52^2}\);
и) \(0{,}2\sqrt{\bigl(-61\bigr)^2}\).
№393 учебника 2023-2025 (стр. 93):
Вспомните:
№393 учебника 2013-2022 (стр. 95):
Вспомните:
№393 учебника 2023-2025 (стр. 93):
а) \(\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{4 + 3 + 4\sqrt{3}}=\)
\(= \sqrt{2^2+ 2\cdot2\cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}=\)
\(=\sqrt{(2 + (\sqrt{3})^2} =|2 + (\sqrt{3}|=\)
\(=2 + \sqrt{3} \).
б)\(\sqrt{6 - 2\sqrt{5}} = \sqrt{5 + 1 - 2\sqrt{5}}= \)
\(= \sqrt{(\sqrt{5})^2 - 2\cdot\sqrt{5}\cdot1 + 1^2} =\)
\(=\sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2} = |\sqrt{5} - 1| =\)
\(=\sqrt{5} - 1.\)
в) \(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} =\sqrt{3 + 2 + 2\sqrt{6}} =\)
\(=\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 2\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2} =\)
\(= \sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2}= |\sqrt{3} + \sqrt{2}|=\)
\(=\sqrt{3} + \sqrt{2}.\)
г) \(\sqrt{3 - \sqrt{8}} =\sqrt{3 - \sqrt{4\cdot2}} =\)
\(=\sqrt{3 - \sqrt{4} \cdot \sqrt{2}} =\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}=\)
\(=\sqrt{2 + 1 - 2\sqrt{2}}=\)
\(=\sqrt{(\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{2} + 1^2}=\)
\(\sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2} = |\sqrt{2} - 1|=\)
\(=\sqrt{2} - 1.\)
Пояснения:
Использованные приемы:
1) Формула квадрата суммы:
\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. \)
2) Формула квадрата разности:
\( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2. \)
3) Свойства корня:
\((\sqrt{a})^2 = a\);
\(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\);
\( \sqrt{a^2} = |a| = a, \) если \(a\ge0\);
\( \sqrt{a^2} = |a| = -a, \) если \(a<0\).
№393 учебника 2013-2022 (стр. 95):
а) \(\sqrt{(0{,}1)^2} = |0{,}1| = 0{,}1\).
б) \(\sqrt{\bigl(-0{,}4\bigr)^2} = |-0{,}4| = 0{,}4\).
в) \(\sqrt{\bigl(-0{,}8\bigr)^2} = |-0{,}8| = 0{,}8\).
г) \(\sqrt{(1{,}7)^2} = |1{,}7| = 1{,}7\).
д) \(\sqrt{\bigl(-19\bigr)^2} = |-19| = 19\).
е) \(\sqrt{24^2} = |24| = 24\).
ж) \(2\sqrt{\bigl(-23\bigr)^2} = 2\cdot|{-23}| = \)
\(=2\cdot23 = 46\).
з) \(5\sqrt{52^2} = 5\cdot|52| = 5\cdot52 = 260\).
и) \(0{,}2\sqrt{\bigl(-61\bigr)^2} = 0{,}2\cdot|{-61}| =\)
\(=0{,}2\cdot61 = 12{,}2\).
Пояснения:
Основное свойство:
\[ \sqrt{x^2} = |x|, \] где \(|x|\) — модуль числа \(x\), равный \(x\), если \(x\ge0\), и \(-x\), если \(x<0\).
Если перед корнем стоит множитель \(k\), то
\[ k\sqrt{x^2} = k\,|x|. \]
В каждом пункте сначала извлекли корень из квадрата, получив модуль аргумента, затем при необходимости умножили на внешний множитель.
Вернуться к содержанию учебника