Упражнение 392 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 93

а) \(\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{3} - 1\)

\(\sqrt{3}-1>0\)

\(4 - 2\sqrt{3} = (\sqrt{3} - 1)^2\)

\(4 - 2\sqrt{3} =(\sqrt{3})^2 - 2\cdot\sqrt{3}\cdot 1 + 1^2 \)

\(4 - 2\sqrt{3} =3 - 2\sqrt{3} + 1 \)

\(4 - 2\sqrt{3} = 4 - 2\sqrt{3} \)

Ответ: равенство верно.

б) \(\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = 2 - \sqrt{5}\)

\(2 - \sqrt{5}<0\), тогда \(\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} \) смысла не имеет.

Ответ: равенство неверно.

Пояснения:

– Определение арифметического квадратного корня:

если \(\sqrt{a} = b\), то \(b^2 = a\) при \(b\ge0\).

– Свойство корня:

\((\sqrt{a})^2 = a\).

– При проверке равенства \(\sqrt{a} = b\) нужно убедиться, что \(b\ge0\) и \(b^2 = a\).

– В пункте а) правая часть положительна, её квадрат даёт подкоренное выражение, значит равенство справедливо.

– В пункте б) левая часть отрицательна, а корень по определению неотрицателен, поэтому равенство неверно.

а) \(\displaystyle \frac{2x}{5} - \frac{x + 18}{6} = 23 + \frac{x}{30}\)  /\(\times30\)

\( ^6\cancel{30}\cdot\frac{2x}{\cancel5} - ^5\cancel{30}\cdot\frac{x+18}{\cancel6} = 30\cdot23 + \cancel{30}\cdot\frac{x}{\cancel{30}} \)

\( 6\cdot2x - 5(x+18) = 690 + x \)

\(12x - 5x - 90 = 690 + x \)

\( 7x - 90 = 690 + x \)

\( 7x - x = 690 + 90 \)

\( 6x = 780 \)

\( x = \frac{780}{6} \)

\( x = 130 \)

Ответ: \( x = 130 \).

б) \(\displaystyle \frac{x - 1}{3} + \frac{2x + 1}{5} = \frac{3x - 1}{4}\)  /\(\times60\)

\( ^{20}\cancel{60}\cdot\frac{x-1}{\cancel3} + ^{12}\cancel{60}\cdot\frac{2x+1}{\cancel5} = ^{15}\cancel{60}\cdot\frac{3x-1}{\cancel4} \)

\( 20(x-1) + 12(2x+1) = 15(3x-1) \)

\( 20x - 20 + 24x + 12 = 45x - 15 \)

\( 44x - 8 = 45x - 15 \)

\( 44x - 45x = -15 + 8 \)

\( -\,x = -7 \)

\( x = 7 \)

Ответ: \( x = 7 \).

Пояснения:

– Для решения линейных уравнений с дробями удобно избавиться от знаменателей, умножив обе части уравнения на наименьший общий знаменатель всех знаменателей.

–Раскрытие скобок:

\(a(b+c)=ab+ac\).

– Приведение подобных членов:

\(ax + bx = (a + b)x\).

- Перенос всех членов с \(x\) в левую сторону уравнения, а чисел в правую со сменой знаков на противоположные.

– Линейное уравнение \(ax=b\) при \(a \neq 0\) имеет единственный корень \(x = \frac{b}{a}\).