Упражнение 245 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( \biggl(a - \frac{a^2 + x^2}{a + x}\biggr)\;\cdot\;\biggl(\frac{2a}{x} + \frac{4a}{a - x}\biggr)= \)

\(= \biggl(\frac{a(a + x) - (a^2 + x^2)}{a + x} \biggr)\;\cdot\;\biggl(\frac{2a(a - x) + 4a x}{x(a - x)} \biggr)= \)

\(= \biggl(\frac{\cancel{a^2} + ax - \cancel{a^2} - x^2}{a + x} \biggr)\;\cdot\;\biggl(\frac{2a^2{\color{red}-2ax} + {\color{red}4a x}}{x(a - x)} \biggr)= \)

\(=\frac{ax - x^2}{a + x}\cdot\frac{2a^2+ 2a x}{x(a - x)}= \)

\(= \frac{x(a - x)}{a + x}\cdot\frac{2a(a+ x)}{x(a - x)}= \)

\(= \frac{\cancel{x(a - x)}\cdot2a\cancel{(a+ x)}}{\cancel{(a + x)}\cdot \cancel{x(a - x)}}=2a \) -  является чётным числом при любом целом \(a\).

Пояснения:

Использованные приёмы и правила:

— Приведение к общему знаменателю и вычитание дробей.

— Вынесение общего множителя: \(x(a - x)\) и \(2a(a + x)\).

— Сокращение одинаковых множителей в произведении дробей.

— Свойство чётности: любое число вида \(2a\), где \(a\) целое, является чётным.

В результате всех преобразований исходное выражение обращается в постоянное значение \(2a\), не зависящее от \(x\), и при любом целом \(a\) оно чётно.

Основные используемые правила:

1) Порядок действий:

если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, а затем за скобками;

если в выражении нет скобок, то сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители.

3) Умножение дробей:

\(\frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)

4) Вынос общего множителя:

\(\displaystyle p\,a+p\,b=p(a+b).\)

5) Сокращение дробей:

\(\frac{k\cdot a}{k\cdot b}=\frac{a}{b}\).

\(\frac{1}{p-2q} \;+\;\frac{6q}{4q^2 - p^2}\;-\;\frac{2}{p+2q} \;=\; -\frac{1}{2p}\cdot\Bigl(\frac{p^2 + 4q^2}{p^2 - 4q^2} + 1\Bigr). \)

Рассмотрим левую часть равенства:

\( \frac{1}{p-2q} + \frac{6q}{4q^2 - p^2} - \frac{2}{p+2q}=\)

\(= \frac{1}{p-2q} ^{\color{red}{\backslash{p+2q}}} - \frac{6q}{p^2-4q^2} - \frac{2}{p+2q} ^{\color{red}{\backslash{p-2q}}}=\)

\(= \frac{p+2q}{p^2-4q^2} - \frac{6q}{p^2-4q^2} - \frac{2(p-2q)}{p^2-4q^2}=\)

\(= \frac{p+2q-6q-2(p-2q)}{p^2-4q^2}=\)

\(= \frac{p-4q-2p+4q}{p^2-4q^2}=- \frac{p}{p^2-4q^2}\)

Рассмотрим правую часть равенства:

\(-\frac{1}{2p}\cdot\Biggl(\frac{p^2 + 4q^2}{p^2 - 4q^2} + 1\Biggr)=\)

\(=-\frac{1}{2p}\cdot\Biggl(\frac{p^2 + 4q^2}{p^2 - 4q^2} +\frac{p^2 - 4q^2}{p^2 - 4q^2}\Biggr)=\)

\(=-\frac{1}{2p}\cdot\frac{p^2 + 4q^2+p^2 - 4q^2}{p^2 - 4q^2}=\)

\(=-\frac{1}{2p}\cdot\frac{2p^2}{p^2 - 4q^2}=-\frac{\cancel2p\cancel{^2}}{\cancel2p(p^2 - 4q^2)}=\)

\(=- \frac{p}{p^2-4q^2}\)

\(- \frac{p}{p^2-4q^2}=- \frac{p}{p^2-4q^2}\) - верно, тождество доказано.

Пояснения:

Чтобы доказать тождества, преобразуем их левую и правую части, выполнив сложение, вычитание и умножение дробей.

— Использовано замена знака в дроби при \(4q^2 - p^2 = -(p^2 - 4q^2)\).

— Приведение дробей к общему знаменателю для упрощения суммы и разности.

— Сложение и вычитание дробей: \(\tfrac{A}{D} \pm  \tfrac{B}{D} = \tfrac{A\pm B}{D}\).

— Свойство деления на дробь: \(A:\frac BC = A\cdot\frac CB\).

— Приведение правой части к единой дроби и сокращение множителей.

Каждый шаг показал, что обе части равны \(-\frac{p}{p^2 - 4q^2}\), поэтому исходное тождество верно.