Упражнение 249 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(\frac{1}{p-2q} \;+\;\frac{6q}{4q^2 - p^2}\;-\;\frac{2}{p+2q} \;=\; -\frac{1}{2p}\cdot\Bigl(\frac{p^2 + 4q^2}{p^2 - 4q^2} + 1\Bigr). \)

Рассмотрим левую часть равенства:

\( \frac{1}{p-2q} + \frac{6q}{4q^2 - p^2} - \frac{2}{p+2q}=\)

\(= \frac{1}{p-2q} ^{\color{red}{\backslash{p+2q}}} - \frac{6q}{p^2-4q^2} - \frac{2}{p+2q} ^{\color{red}{\backslash{p-2q}}}=\)

\(= \frac{p+2q}{p^2-4q^2} - \frac{6q}{p^2-4q^2} - \frac{2(p-2q)}{p^2-4q^2}=\)

\(= \frac{p+2q-6q-2(p-2q)}{p^2-4q^2}=\)

\(= \frac{p-4q-2p+4q}{p^2-4q^2}=- \frac{p}{p^2-4q^2}\)

Рассмотрим правую часть равенства:

\(-\frac{1}{2p}\cdot\Biggl(\frac{p^2 + 4q^2}{p^2 - 4q^2} + 1\Biggr)=\)

\(=-\frac{1}{2p}\cdot\Biggl(\frac{p^2 + 4q^2}{p^2 - 4q^2} +\frac{p^2 - 4q^2}{p^2 - 4q^2}\Biggr)=\)

\(=-\frac{1}{2p}\cdot\frac{p^2 + 4q^2+p^2 - 4q^2}{p^2 - 4q^2}=\)

\(=-\frac{1}{2p}\cdot\frac{2p^2}{p^2 - 4q^2}=-\frac{\cancel2p\cancel{^2}}{\cancel2p(p^2 - 4q^2)}=\)

\(=- \frac{p}{p^2-4q^2}\)

\(- \frac{p}{p^2-4q^2}=- \frac{p}{p^2-4q^2}\) - верно, тождество доказано.

Пояснения:

Чтобы доказать тождества, преобразуем их левую и правую части, выполнив сложение, вычитание и умножение дробей.

— Использовано замена знака в дроби при \(4q^2 - p^2 = -(p^2 - 4q^2)\).

— Приведение дробей к общему знаменателю для упрощения суммы и разности.

— Сложение и вычитание дробей: \(\tfrac{A}{D} \pm  \tfrac{B}{D} = \tfrac{A\pm B}{D}\).

— Свойство деления на дробь: \(A:\frac BC = A\cdot\frac CB\).

— Приведение правой части к единой дроби и сокращение множителей.

Каждый шаг показал, что обе части равны \(-\frac{p}{p^2 - 4q^2}\), поэтому исходное тождество верно.

а) \(\displaystyle \frac{\frac{1}{x-2}+\frac{x}{x+2}}{\frac{3x}{x^2-4}}\)

\(x-2\neq0\;\Rightarrow\;x\neq2,\)

\(x+2\neq0\;\Rightarrow\;x\neq-2,\)

\(x^2-4\neq0\;\Rightarrow\;x\neq\pm2,\)

\(\tfrac{3x}{x^2-4}\neq 0 \) 

\(3x\neq0\;\Rightarrow\;x\neq0.\)

Ответ: все числа кроме \(-2,0\) и \(2.\)

б) \(\displaystyle \frac{1}{\,1-\frac{1}{\,1-\frac{1}{x}\,}\,}\)

\(x\neq0\) 

\(1-\tfrac1x\neq0\;\Rightarrow\;x\neq1,\)

\(1-\frac{1}{\,1-\tfrac1x\,}\neq0\).

\(\displaystyle 1-\frac{1}{\,1-\tfrac1x\,} =\frac{(1-\tfrac1x)-1}{1-\tfrac1x} =-\frac{1/x}{1-1/x} \neq0\)

Ответ: все числа кроме \(x\neq0,1.\)

Пояснения:

В каждом случае выписали все подвыражения, стоящие в знаменателях, и приравняли их к нулю для исключения недопустимых \(x\).

В пункте а) дополнительно потребовалось, чтобы дробь \(\tfrac{3x}{x^2-4}\) не обращалась в ноль (числитель ≠ 0).

В пункте б) проверили вложенную дробь \(\;1-\tfrac1x\), а затем убедились, что внешнее выражение \(1-\frac1{1-\tfrac1x}\) не обнуляется при тех же условиях.