Упражнение 250 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( a^3 + b^3 + \Bigl(\frac{b\,(2a^3 + b^3)}{a^3 - b^3}\Bigr)^3 \;=\; \Bigl(\frac{a\,(a^3 + 2b^3)}{a^3 - b^3}\Bigr)^3 \)

Рассмотрим левую часть:

\( a^3 + b^3 + \Bigl(\frac{b\,(2a^3 + b^3)}{a^3 - b^3}\Bigr)^3=\)

\(=\frac{a^3 + b^3}{1} ^{\color{red}{\backslash{(a^3 - b^3)^3}}} + \frac{b^3(2a^3 + b^3)^3}{(a^3 - b^3)^3}=\)

\(= \frac{(a^3+b^3)\,(a^3 - b^3)^3}{(a^3 - b^3)^3} + \frac{b^3\,(2a^3 + b^3)^3}{(a^3 - b^3)^3} =\)

\(= \frac{(a^3+b^3)\,(a^9 - 3a^6b^3 + 3a^3b^6 - b^9)}{(a^3 - b^3)^3} + \)

\(+\frac{b^3\,( 8a^9 + 12a^6b^3 + 6a^3b^6 + b^9)}{(a^3 - b^3)^3} =\)

\(= \frac{a^3\,(a^9 - 3a^6b^3 + 3a^3b^6 - b^9)}{(a^3 - b^3)^3} + \)

\(+\biggl(\frac{b^3\,(a^9 - 3a^6b^3 + 3a^3b^6 - b^9)}{(a^3 - b^3)^3} + \)

\(+\frac{b^3\,( 8a^9 + 12a^6b^3 + 6a^3b^6 + b^9)}{(a^3 - b^3)^3}\biggr) =\)

\(= \frac{a^3\,(a^9 - 3a^6b^3 + 3a^3b^6 - b^9)}{(a^3 - b^3)^3} + \)

\(+ \tfrac{b^3\,(a^9 - {\color{red}3a^6b^3} + {\color{blue}3a^3b^6} - \cancel b^9+8a^9 + {\color{red}12a^6b^3} + {\color{blue}6a^3b^6} + \cancel b^9)}{(a^3 - b^3)^3}= \)

\(= \frac{a^3\,(a^9 - 3a^6b^3 + 3a^3b^6 - b^9)}{(a^3 - b^3)^3} + \)

\(+ \frac{b^3\,(9a^9 +9a^6b^3 + 9a^3b^6)}{(a^3 - b^3)^3}= \)

\(= \frac{a^{12} - 3a^9b^3 + 3a^6b^6 - a^3b^9}{(a^3 - b^3)^3} + \)

\(+ \frac{9a^9b^3 +9a^6b^6 + 9a^3b^9}{(a^3 - b^3)^3}= \)

\(= \tfrac{a^{12} - {\color{red}3a^9b^3} + {\color{blue}3a^6b^6} - {\color{green}a^3b^9}+{\color{red}9a^9b^3} +{\color{blue}9a^6b^6} + {\color{green}9a^3b^9}}{(a^3 - b^3)^3} = \)

\(= \frac{a^{12} +6a^9b^3 + 12a^6b^6 +8a^3b^9}{(a^3 - b^3)^3} = \)

\(= \frac{a^3\,(a^9 + 6a^6b^3 + 12a^3b^6 + 8b^9)}{(a^3 - b^3)^3} = \)

\(= \frac{ a^3\,(a^3 + 2b^3)^3}{(a^3 - b^3)^3}= \Biggl(\frac{a\,(a^3 + 2b^3)}{a^3 - b^3}\Biggr)^3.\)

\( \Bigl(\frac{a\,(a^3 + 2b^3)}{a^3 - b^3}\Bigr)^3= \Bigl(\frac{a\,(a^3 + 2b^3)}{a^3 - b^3}\Bigr)^3\) - верно.

Пояснения:

Чтобы доказать тождество, преобразуем его левые части. Для этого используем следующие приемы:

1) Распределительное свойство умножения:

\(\displaystyle c\,a\pm c\,b=c(a \pm b).\)

2) Сочетательное свойство сложения:

\(a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)\)

2) Свойство степени:

\(a^nb^n = (ab)^n\).

\(a^na^m= a^{n+m}\).

3) Куб суммы и куб разности двух выражений:

\((a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3\).

4) Сложение дробей:

\(\frac{A}{D} +  \frac{B}{D} = \frac{A+ B}{D}\).

5) Возведение дроби в степень:

\(\biggl(\frac{A}{B}\biggr)^n = \frac{A^n}{B^n}\).

\(\frac{3}{\frac{1}{8}^{\color{red}{\backslash{9}}} + \frac{1}{9}^{\color{red}{\backslash{8}}} + \frac{1}{12}^{\color{red}{\backslash{6}}}}=\frac{3}{\frac{9 + 8 + 6}{72}}=\)

\(=\frac{3}{\frac{23}{72}}=3:\frac{23}{72}=3\cdot\frac{72}{23}=\)

\(=\frac{216}{23}=9\frac{9}{23}\) (ч) - потребуется для выполнения заказов.

Ответ: через \(9\frac{9}{23}\) ч работа была закончена.

Пояснения:

— Производительность показывает, какую часть одного заказа выполняет исполнитель за 1 час.

— При совместной работе производительности складываются.

— Время выполнения трех заказов равно общему объёму работы (количество заказов) делённому на совместную производительность.