Упражнение 232 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а)  \(\frac{mn+1}{m+n} ^{\color{red}{\backslash{m-n}}} + \frac{mn-1}{m-n}^{\color{red}{\backslash{m+n}}}=\)

\( =\frac{(mn+1)(m-n)}{m^2-n^2}+\frac{(mn-1)(m+n)}{m^2-n^2}= \)

\( =\frac{(mn+1)(m-n)+(mn-1)(m+n)}{m^2-n^2}= \)

\( =\frac{m^2n - \cancel{mn^2} +\cancel{m} - n+m^2n +\cancel{ mn^2} - \cancel{m} - n}{m^2-n^2}= \)

\(= \frac{2m^2n -2n}{m^2-n^2} =\frac{2n(m^2-1)}{m^2-n^2}. \)

б) \(\frac{x+4a}{3a+3x} - \frac{a-4x}{3a-3x}=\)

\(=\frac{x+4a}{3(a+x)}^{\color{red}{\backslash{a-x}}} - \frac{a-4x}{3(a-x)}^{\color{red}{\backslash{a+x}}}=\)

\( =\frac{(x+4a)(a-x)}{3(a^2-x^2)}-\frac{(a-4x)(a+x)}{3(a^2-x^2)}= \)

\( =\frac{(x+4a)(a-x)-(a-4x)(a+x)}{3(a^2-x^2)}= \)

\( =\frac{4a^2 -3ax - x^2-(a^2 -3ax -4x^2)}{3(a^2-x^2)}= \)

\( =\frac{4a^2 -\cancel{3ax} - x^2-a^2 +\cancel{3ax} +4x^2}{3(a^2-x^2)}= \)

\( =\frac{3a^2 +3x^2}{3(a^2-x^2)}= \)

\( =\frac{3(a^2 +x^2)}{3(a^2-x^2)}=\frac{a^2 +x^2}{a^2-x^2}. \)

Пояснения:

Использованные приёмы и правила:

– Приведение дробей к общему знаменателю путём домножения на дополнительный множитель.

– Раскрытие скобок в числителе: перемножение двучленов.

– Приведение подобных слагаемых после раскрытия скобок.

– Вынос общего множителя за скобку для упрощения дроби.

В пункте а) сначала нашли общий знаменатель \(m^2-n^2\), домножили каждую дробь, раскрыли скобки в числителе, сложили полученные выражения и вынесли общий множитель \(2n\).

В пункте б) заметили множители \(3(a+x)\) и \(3(a-x)\), выбрали общий знаменатель \(3(a^2-x^2)\), домножили дроби, раскрыли скобки, вычли числители и сократили общий множитель \(3\).

\( \frac{a x + b y}{(a - b)(x + y)} \;-\; \frac{b x - a y}{(a + b)(x + y)}= \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}. \)

\( \frac{a x + b y}{(a - b)(x + y)} ^{\color{red}{\backslash{a+b}}} -\; \frac{b x - a y}{(a + b)(x + y)} ^{\color{red}{\backslash{a-b}}} =\)

\( = \frac{(a x + b y)(a + b)}{(a^2 - b^2)(x+y)}- \frac{(b x - a y)(a - b)}{(a^2 - b^2)(x+y)}= \)

\( = \frac{a^2 x + a b x + a b y + b^2 y}{(a^2 - b^2)(x+y)}-\)

\(-\frac{a b x - b^2 x - a^2 y + a b y}{(a^2 - b^2)(x+y)}= \)

\( = \tfrac{a^2 x + a b x + a b y + b^2 y \;-\; \bigl(a b x - b^2 x - a^2 y + a b y\bigr) }{(a^2 - b^2)(x+y)}=\)

\( = \tfrac{a^2 x +\cancel{ a b x} +\cancel{ a b y} + b^2 y-\cancel{a b x} + b^2 x + a^2 y - \cancel{a b y} }{(a^2 - b^2)(x+y)}=\)

\( = \frac{ a^2 x + b^2 x + a^2 y + b^2 y }{(a^2 - b^2)(x+y)}=\)

\( = \frac{ (a^2  + b^2) x + (a^2  + b^2) y }{(a^2 - b^2)(x+y)}=\)

\( = \frac{ (a^2  + b^2) \cancel{(x +y)}}{(a^2 - b^2)\cancel{(x+y)}}= \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}. \)

Следовательно, 

\( \frac{a x + b y}{(a - b)(x + y)} \;-\; \frac{b x - a y}{(a + b)(x + y)}= \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}, \) что и требовалось доказать.

Пояснения:

1) Для доказательства того, что рассматриваемые выражения тождественно равны, нужно преобразовать первое выражение. В результате преобразований мы должны получить второе выражение.

2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. Чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели вычитаемых дробей.

2) При разложении на множители знаменателей используем следующие приемы:

- вынесение общего множителя за скобки:

\(kx-ky=k(x-y)\).

3) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей, раскрывая скобки и приводя подобные члены, затем раскладываем полученный многочлен на множители методом группировки. Затем сокращаем полученную дробь на общий множитель числителя и знаменателя.