Упражнение 207 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\[\displaystyle y = \frac{x^2 - 6x + 1}{x - 3}\]

Выполним деление многочленов:

\[y =\frac{x^2 - 6x + 1}{x - 3} = x - 3 + \frac{-8}{x - 3}.\]

Для того чтобы \(y\) было целым, должно быть целым \(\displaystyle \frac{-8}{x - 3}\). Значит, \(x - 3\) — делитель числа \(-8\).

Делители \(-8:\) \(\pm1,\pm2,\pm4,\pm8\).

\(x - 3 = 1\):

\(x = 4,\;y = 1 - 8 = -7\) → \((4; -7)\).

\(x - 3= 2\):

\(x = 5,\;y = 2 - 4 = -2\) → \((5; -2)\).

\(x - 3= 4\):

\(x = 7,\;y = 4 - 2 = 2\) → \((7; 2)\).

\(x - 3 = 8\):

\(x = 11,\;y = 8 - 1 = 7\) → \((11; 7)\).

\(x - 3= -1\):

\(x = 2,\;y = -1 + 8 = 7\) → \((2; 7)\).

\(x - 3= -2\):

\(x = 1,\;y = -2 + 4 = 2\) → \((1; 2)\).

\(x - 3 = -4\):

\(x = -1,\;y = -4 + 2 = -2\) → \((-1; -2)\).

\(x - 3= -8\):

\(x = -5,\;y = -8 + 1 = -7\) → \((-5; -7)\).

Ответ: \((4; -7); (5; -2); (7; 2); (11; 7);\) \( (2; 7); (1; 2); (-1; -2); (-5; -7).\)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1. Полиномиальное деление: выделили целую часть \(x-3\) и остаток \(-8\).

2. Дробь \(\frac{-8}{x-3}\) целая тогда и только тогда, когда \(x-3\) — делитель \(-8\).

3. Перечисление делителей числа и вычисление соответствующих значений \(x\) и \(y\).

\(\frac{a + 2b}{a} = 11\;\Rightarrow\; 1 + \frac{2b}{a} = 11\)

\(\;\Rightarrow\; \frac{2b}{a} = 10 \;\Rightarrow\; a = \frac{2b}{10} = \frac{b}{5} \)

\( \frac{(a - 3b)^2}{b^2} = \frac{\bigl(\frac{b}{5} - 3b\bigr)^2}{b^2} =\)

\(=\frac{\bigl(b(\frac{1}{5} - 3)\bigr)^2}{b^2} = \frac{\bigl(-\frac{14}{5}b\bigr)^2}{b^2} =\)

\(=\frac{\frac{196}{25}b^2}{b^2} = \frac{196}{25}=7,84.\)

Ответ: 7,84.

Пояснения:

Использованные правила:

1. Свойство дроби: \(\displaystyle\frac{a + 2b}{a} = 1 + \frac{2b}{a}.\)

2. Метод подстановки: выразили \(a\) через \(b\) и подставили в исходное выражение.

3. Свойство степени и сокращение одинаковых множителей при делении: \(\frac{b^2}{b^2} = 1.\)

Подробные пояснения:

Сначала из дробного равенства получили простое линейное отношение, что позволило найти \(a = \frac{b}{5}\).

Затем выразили разность \(a - 3b\) через \(b\), возвели в квадрат и разделили на \(b^2\), после чего сократили \(b^2\), получив беззависимый от \(b\) ответ \(\frac{196}{25}\).