Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№201 учебника 2023-2025 (стр. 55):
При каких значениях \(a\) и \(b\) равенство
\[\frac{6x}{(x-1)(x-2)} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{x-2}\]
является тождеством?
№201 учебника 2013-2022 (стр. 52):
(Для работы в парах.) Зная, что \(m\) — целое число, найдите целые значения дроби:
а) \(\frac{m^2 - 6m + 10}{m - 3};\)
б) \(\frac{(m - 4)^2}{m - 2}.\)
1) Обсудите, какие преобразования надо выполнить, чтобы найти целые значения дроби.
2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто - задание б), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены преобразования и верно ли найдены целые значения дроби. Исправьте замеченные ошибки.
№201 учебника 2023-2025 (стр. 55):
Вспомните:
№201 учебника 2013-2022 (стр. 52):
Вспомните:
№201 учебника 2023-2025 (стр. 55):
\(\frac{6x}{(x-1)(x-2)} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{x-2}\)
\(\frac{a}{x-1} + \frac{b}{x-2}=\)
\(=\frac{a(x-2)}{(x-1)(x-2)} + \frac{b(x-1)}{(x-2)(x-1)}=\)
\(\frac{a(x-2) + b(x-1)}{(x-1)(x-2)}=\)
\(=\frac{x(a+b)-(2a+b)}{(x-1)(x-2)}\)
\(\frac{6x}{(x-1)(x-2)} =\frac{x(a+b)-(2a+b)}{(x-1)(x-2)} \)
\(\begin{cases} a + b = 6,\\ -(2a + b) = 0. \end{cases}\)
\(\begin{cases} b = 6-a,\\ -(2a + 6-a) = 0. \end{cases}\)
\(-(2a + 6-a) = 0\)
\(a + 6 = 0\)
\(a = -6\)
Тогда \(b = 6-a=6-(-6)=12\).
Ответ: \(a = -6;\) \(b =12\).
Пояснения:
Использованные правила:
Для тождественной дроби равенство должно выполняться при всех допустимых значениях \(x\).
Равенство многочленов требует равенства коэффициентов при одинаковых степенях переменной.
Пояснения к шагам:
Сначала складываем дроби в правой части равенства, затем составляем систему уравнений по сравнению коэффициентов при \(x\) и свободных членов. Решив систему, находим \(a = -6\) и \(b = 12\), при которых исходное равенство тождественно верно.
№201 учебника 2013-2022 (стр. 52):
а) Выполним деление многочленов:
| - | \(m^2\) | - | \(6m\) | + | \(10\) | \(m\) | - | \(3\) | |
| \(m^2\) | - | \(3m\) | \(m\) | - | \(3\) | ||||
| - | - | \(3m\) | + | \(10\) | |||||
| - | \(3m\) | + | \(9\) | ||||||
| \(1\) |
\(m^2 - 6m + 10=(m-3)(m-3)+1\)
\[\frac{m^2 - 6m + 10}{m - 3} = m - 3 + \frac{1}{m - 3}.\]
Чтобы дробь целая, требуется \(m - 3\) делит 1, то есть
\(\displaystyle m - 3 = 1 \implies m = 4:\)
\(4 - 3 + \tfrac{1}{1} = 2.\)
\(\displaystyle m - 3 = -1 \implies m = 2:\)
\(2 - 3 + \tfrac{1}{-1} = -2.\)
Ответ: \(\pm2\)
б) \(\frac{(m - 4)^2}{m - 2} = \frac{m^2 - 8m + 16}{m - 2}\)
Выполним деление многочленов:
| - | \(m^2\) | - | \(8m\) | + | \(16\) | \(m\) | - | \(2\) | |
| \(m^2\) | - | \(2m\) | \(m\) | - | \(6\) | ||||
| - | - | \(6m\) | + | \(16\) | |||||
| - | \(6m\) | + | \(12\) | ||||||
| \(4\) |
\((m - 4)^2=(m-2)(m-6)+4\)
\(\frac{(m - 4)^2}{m - 2}= m - 6 + \frac{4}{m - 2}\)
Требуется, чтобы \(m - 2\) делил 4. Возможные значения:
\((m - 2): \pm1,\pm2,\pm4\)
Если \(m - 2=1\), то \(m=3\):
\(3 - 6 + \frac{4}{1} = 1;\)
Если \(m - 2=-1\), то \(m=1\):
\(1 - 6 + \frac{4}{-1} = -9;\)
Если \(m - 2=2\), то \(m=4\):
\(4 - 6 + \frac{4}{2} = 0;\)
Если \(m - 2=-2\), то \(m=0\):
\(0 - 6 + \frac{4}{-2} = -8;\)
Если \(m - 2=4\), то \(m=6\):
\(6 - 6 + \frac{4}{4} = 1;\)
Если \(m - 2=-4\), то \(m=-2\):
\(-2 - 6 + \frac{4}{-4} = -9.\)
Ответ: \(1; -9; 0; -8\)
Пояснения:
Использованные правила и приёмы:
1. Выполняем деление многочлена на многочлен для представления рациональной дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби.
2. Дробь \(\frac{p}{q}\) при целых \(p,q\) целая тогда и только тогда, когда \(q\) делит \(p\).
Пояснения к шагам:
— С помощью деления многочленов выделили целую часть и остаток.
— Для целочисленности остаточной дроби приравняли знаменатель к делителям остатка.
— Перечислили все возможные целочисленные значения \(m\) и вычислили итоговые значения дробей.
Вернуться к содержанию учебника