Упражнение 163 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\Bigl(\frac{2ab}{a^2-b^2}+\frac{a-b}{2a+2b}\Bigr)\cdot\frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a}=\)

\(=\Bigl(\frac{2ab}{(a-b)(a+b)} ^{\color{blue}{\backslash2}} +\frac{a-b}{2(a+b)} ^{\color{blue}{\backslash{a-b}}} \Bigr)\cdot\frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a}=\)

\(=\frac{4ab+(a-b)^2}{2(a-b)(a+b)}\cdot\frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a}=\)

\(=\frac{4ab+a^2-2ab+b^2}{2(a-b)(a+b)}\cdot\frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a}=\)

\(=\frac{a^2+2ab+b^2}{2(a-b)(a+b)}\cdot\frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a}=\)

\(=\frac{(a+b)^2}{2(a-b)(a+b)}\cdot\frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a}=\)

\(=\frac{\cancel{(a+b)^2}\cdot\cancel{2}a}{\cancel{2}(a-b)\cancel{(a+b)^2}}+\frac{b}{b-a}=\)

\(=\frac{a}{a-b}+\frac{b}{b-a}=\)

\(=\frac{a}{a-b}-\frac{b}{a-b}=\)

\(=\frac{a-b}{a-b}=1\) - не зависит от значений переменных \(a\) и \(b\).

б) \( \frac{y}{x-y}-\frac{x^3-xy^2}{x^2+y^2}\cdot\Bigl(\frac{x}{(x-y)^2}-\frac{y}{x^2-y^2}\Bigr)=\)

\( =\frac{y}{x-y}-\frac{x(x^2-y^2)}{x^2+y^2}\cdot\Bigl(\frac{x}{(x-y)^2} ^{\color{blue}{\backslash{x+y}}} -\frac{y}{(x-y)(x+y)} ^{\color{blue}{\backslash{x-y}}} \Bigr)=\)

\( =\frac{y}{x-y}-\frac{x(x^2-y^2)}{x^2+y^2}\cdot\frac{x(x+y)-y(x-y)}{(x+y)(x-y)^2}=\)

\( =\frac{y}{x-y}-\frac{x(x^2-y^2)}{x^2+y^2}\cdot\frac{x^2+\cancel{xy}-\cancel{xy}+y^2}{(x-y)(x^2-y^2)} =\)

\( =\frac{y}{x-y}-\frac{x\cancel{(x^2-y^2)}\cdot\cancel{(x^2+y^2)}}{\cancel{(x^2+y^2)}(x-y)\cancel{(x^2-y^2)}}=\)

\(=\frac{y}{x-y}-\frac{x}{x-y}=\frac{y-x}{x-y} =\)

\(=\frac{-(x-y)}{x-y} =-1\) - не зависит от значений переменных \(x\) и \(y\).

Пояснения:

Основные используемые правила:

1) Порядок действий:

если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, а затем за скобками;

если в выражении нет скобок, то сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

3) Умножение дробей:

\(\frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)

4) Вынос общего множителя:

\(\displaystyle p\,a+p\,b=p(a+b).\)

5) Разность квадратов:

\(\displaystyle x^2-y^2=(x-y)(x+y).\)

6) Квадрат суммы двух выражений:

\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

7) Квадрат разности двух выражений:

\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\);

8) Противоположные выражения:

\(a-b = -(b-a)\).

9) Сокращение дробей:

\(\frac{k\cdot a}{k\cdot b}=\frac{a}{b}\).

10) В итоге оба выражения сводятся к константам (1 и −1), то есть не зависят от значений переменных.

а) \( \bigl(n ^{\color{blue}{\backslash{n}}} +\frac{1}{n}\bigr)^2 =\bigl(\frac{n^2+1}{n}\bigr)^2=\)

\(=\frac{(n^2+1)^2}{n^2}=\frac{n^4+2n^2+1)^2}{n^2}.\)

б) \( \bigl(\frac{a}{b} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} -\frac{b}{a} ^{\color{blue}{\backslash{b}}} \bigr)^2 =\bigl(\frac{a^2-b^2}{ab} \bigr)^2 = \)

\(=\frac{(a^2-b^2)^2}{(ab)^2} = \frac{a^4-2a^2b^2+b^4}{a^2b^2}. \)

в) \( \bigl(\frac{x}{y}+1 ^{\color{blue}{\backslash{y}}} \bigr)^2 + \bigl(\frac{x}{y}-1 ^{\color{blue}{\backslash{y}}} \bigr)^2 =\)

\(=\bigl(\frac{x+y}{y}\bigr)^2+\bigl(\frac{x-y}{y}\bigr)^2=\)

\(=\frac{(x+y)^2}{y^2}+\frac{(x-y)^2}{y^2}=\)

\(=\frac{x^2+\cancel{2xy}+y^2+x^2-\cancel{2xy}+y^2}{y^2}=\)

\(=\frac{2x^2+2y^2}{y^2}.\)

г) \( \bigl(\frac{p}{q} ^{\color{blue}{\backslash{p}}} +\frac{q}{p} ^{\color{blue}{\backslash{q}}} \bigr)^2 - \bigl(\frac{p}{q} ^{\color{blue}{\backslash{p}}} -\frac{q}{p} ^{\color{blue}{\backslash{q}}} \bigr)^2 =\)

\(= \bigl(\frac{p^2+q^2}{pq} \bigr)^2 - \bigl(\frac{p^2-q^2}{pq} \bigr)^2=\)

\(= \frac{(p^2+q^2)^2}{(pq)^2}  - \frac{(p^2-q^2)^2}{(pq)^2} =\)

\(= \frac{p^4+2p^2q^2+q^4-(p^4-2p^2q^2+q^4)}{(pq)^2}=\)

\(= \frac{\cancel{p^4}+2p^2q^2+\cancel{q^4}-\cancel{p^4}+2p^2q^2-\cancel{q^4}}{p^2q^2}=\)

\(= \frac{4\cancel{p^2q^2}}{\cancel{p^2q^2}}=4\)

Пояснения:

Основные используемые правила:

1) Порядок действий:

если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, а затем за скобками.

2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

3) Квадрат суммы двух выражений:

\(\;(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.\)

4) Квадрат разности двух выражений:

\(\;(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.\)

5) Противоположные выражения:

\(a-b = -(b-a)\).

6) Свойства степени:

\( \bigl(\frac{a}{b}\bigr)^n = \frac{a^n}{b^n}\);

\(a^nb^n = (ab)^n\);

\((a^m)^n = a^{mn}\).