Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№161 учебника 2023-2025 (стр. 43):
Докажите тождество:
а) \(\displaystyle \frac{2p - q}{p q} -\frac{1}{p+q}\cdot\biggl(\frac{p}{q}-\frac{q}{p}\biggr)=\frac{1}{q};\)
б) \(\displaystyle \frac{a+b}{2(a-b)}-\frac{\,a-b\,}{2(a+b)}=\frac{b}{a-b}-\frac{b^2 - a b}{a^2 - b^2}.\)
№161 учебника 2013-2022 (стр. 41):
Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения не зависит от значений входящих в него переменных:
а) \(\displaystyle\Bigl(\frac{2ab}{a^2-b^2}+\frac{a-b}{2a+2b}\Bigr)\cdot\frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a};\)
б) \(\displaystyle \frac{y}{x-y}-\frac{x^3-xy^2}{x^2+y^2}\;\cdot\;\Bigl(\frac{x}{(x-y)^2}-\frac{y}{x^2-y^2}\Bigr).\)
№161 учебника 2023-2025 (стр. 43):
Вспомните:
№161 учебника 2013-2022 (стр. 41):
Вспомните:
№161 учебника 2023-2025 (стр. 43):
а) \(\displaystyle \frac{2p - q}{p q} -\frac{1}{p+q}\cdot\biggl(\frac{p}{q}-\frac{q}{p}\biggr)=\frac{1}{q}\)
\(\displaystyle \frac{2p - q}{p q} -\frac{1}{p+q}\cdot\biggl(\frac{p}{q} ^{\color{blue}{\backslash{p}}} -\frac{q}{p} ^{\color{blue}{\backslash{q}}} \biggr)=\frac{1}{q}\)
\(\displaystyle \frac{2p - q}{p q} -\frac{1}{p+q}\cdot\frac{p^2-q^2}{pq}=\frac{1}{q}\)
\(\displaystyle \frac{2p - q}{p q} -\frac{1}{\cancel{p+q}}\cdot\frac{(p-q)\cancel{(p+q)}}{pq}=\frac{1}{q}\)
\(\displaystyle \frac{2p - q}{p q} -\frac{p-q}{pq}=\frac{1}{q}\)
\(\displaystyle \frac{2p - \cancel{q}-p+\cancel{q}}{p q} =\frac{1}{q}\)
\(\displaystyle \frac{\cancel{p}}{\cancel{p} q} =\frac{1}{q}\)
\(\frac{1}{q}=\frac{1}{q}\)
Тождество доказано.
б) \(\displaystyle \frac{a+b}{2(a-b)} ^{\color{blue}{\backslash{a+b}}} -\frac{\,a-b\,}{2(a+b)} ^{\color{blue}{\backslash{a-b}}} =\frac{b}{a-b}-\frac{b^2 - a b}{a^2 - b^2}\)
\(\displaystyle \frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{2(a-b)(a+b)}=\frac{b}{a-b} ^{\color{blue}{\backslash{a+b}}} +\frac{b(a- b)}{(a - b)(a+b)}\)
\(\displaystyle \frac{a^2+2ab+b^2-(a^2-2ab+b^2)}{2(a-b)(a+b)}=\frac{b(a+b)+b(a- b)}{(a-b)(a+b)}\)
\(\displaystyle \frac{\cancel{a^2}+2ab+\cancel{b^2}-\cancel{a^2}+2ab-\cancel{b^2}}{2(a-b)(a+b)}=\frac{ab+\cancel{b^2}+ab- \cancel{b^2}}{(a-b)(a+b)}\)
\(\displaystyle \frac{^2\cancel4ab}{\cancel2(a-b)(a+b)}=\frac{2ab}{(a-b)(a+b)}\)
\(\frac{2ab}{a^2-b^2}=\frac{2ab}{a^2-b^2}\)
Тождество доказано.
Пояснения:
Для доказательства тождества нужно преобразовать левую и правую его части и получить одно и то же выражение.
Основные используемые правила:
1) Порядок действий:
если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, а затем за скобками;
если в выражении нет скобок, то сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание.
2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители.
3) Умножение дробей:
\(\frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)
4) Вынос общего множителя:
\(\displaystyle p\,a+p\,b=p(a+b).\)
5) Разность квадратов:
\(\displaystyle x^2-y^2=(x-y)(x+y).\)
6) Квадрат суммы двух выражений:
\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
7) Квадрат разности двух выражений:
\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\);
8) Противоположные выражения:
\(a-b = -(b-a)\).
№161 учебника 2013-2022 (стр. 41):
а) \(\Bigl(\frac{2ab}{a^2-b^2}+\frac{a-b}{2a+2b}\Bigr)\cdot\frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a}=\)
\(=\Bigl(\frac{2ab}{(a-b)(a+b)} ^{\color{blue}{\backslash2}} +\frac{a-b}{2(a+b)} ^{\color{blue}{\backslash{a-b}}} \Bigr)\cdot\frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a}=\)
\(=\frac{4ab+(a-b)^2}{2(a-b)(a+b)}\cdot\frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a}=\)
\(=\frac{4ab+a^2-2ab+b^2}{2(a-b)(a+b)}\cdot\frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a}=\)
\(=\frac{a^2+2ab+b^2}{2(a-b)(a+b)}\cdot\frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a}=\)
\(=\frac{(a+b)^2}{2(a-b)(a+b)}\cdot\frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a}=\)
\(=\frac{\cancel{(a+b)^2}\cdot\cancel{2}a}{\cancel{2}(a-b)\cancel{(a+b)^2}}+\frac{b}{b-a}=\)
\(=\frac{a}{a-b}+\frac{b}{b-a}=\)
\(=\frac{a}{a-b}-\frac{b}{a-b}=\)
\(=\frac{a-b}{a-b}=1\) - не зависит от значений переменных \(a\) и \(b\).
б) \( \frac{y}{x-y}-\frac{x^3-xy^2}{x^2+y^2}\cdot\Bigl(\frac{x}{(x-y)^2}-\frac{y}{x^2-y^2}\Bigr)=\)
\( =\frac{y}{x-y}-\frac{x(x^2-y^2)}{x^2+y^2}\cdot\Bigl(\frac{x}{(x-y)^2} ^{\color{blue}{\backslash{x+y}}} -\frac{y}{(x-y)(x+y)} ^{\color{blue}{\backslash{x-y}}} \Bigr)=\)
\( =\frac{y}{x-y}-\frac{x(x^2-y^2)}{x^2+y^2}\cdot\frac{x(x+y)-y(x-y)}{(x+y)(x-y)^2}=\)
\( =\frac{y}{x-y}-\frac{x(x^2-y^2)}{x^2+y^2}\cdot\frac{x^2+\cancel{xy}-\cancel{xy}+y^2}{(x-y)(x^2-y^2)} =\)
\( =\frac{y}{x-y}-\frac{x\cancel{(x^2-y^2)}\cdot\cancel{(x^2+y^2)}}{\cancel{(x^2+y^2)}(x-y)\cancel{(x^2-y^2)}}=\)
\(=\frac{y}{x-y}-\frac{x}{x-y}=\frac{y-x}{x-y} =\)
\(=\frac{-(x-y)}{x-y} =-1\) - не зависит от значений переменных \(x\) и \(y\).
Пояснения:
Основные используемые правила:
1) Порядок действий:
если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, а затем за скобками;
если в выражении нет скобок, то сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание.
2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.
3) Умножение дробей:
\(\frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)
4) Вынос общего множителя:
\(\displaystyle p\,a+p\,b=p(a+b).\)
5) Разность квадратов:
\(\displaystyle x^2-y^2=(x-y)(x+y).\)
6) Квадрат суммы двух выражений:
\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
7) Квадрат разности двух выражений:
\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\);
8) Противоположные выражения:
\(a-b = -(b-a)\).
9) Сокращение дробей:
\(\frac{k\cdot a}{k\cdot b}=\frac{a}{b}\).
10) В итоге оба выражения сводятся к константам (1 и −1), то есть не зависят от значений переменных.
Вернуться к содержанию учебника