Упражнение 156 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\Bigl(\frac{1}{y} ^{\color{blue}{\backslash{x-y}}} +\frac{2}{x-y} ^{\color{blue}{\backslash{y}}} \Bigr)\;\Bigl(x ^{\color{blue}{\backslash{x+y}}} -\frac{x^2+y^2}{x+y}\Bigr)=\)

\(=\frac{x-y+2y}{y(x-y)}\cdot \frac{x(x+y)-(x^2+y^2)}{x+y}=\)

\(=\frac{x+y}{y(x-y)}\cdot \frac{\cancel{x^2}+xy-\cancel{x^2}-y^2}{x+y} \)

\(=\frac{x+y}{y(x-y)}\cdot \frac{xy-y^2}{x+y} =\)

\(= \frac{x+y}{y(x-y)}\cdot\frac{y(x-y)}{x+y}=1. \)

б) \(\Bigl(a+b-\frac{2ab}{a+b}\Bigr):\Bigl(\frac{a-b}{a+b}+\frac{b}{a}\Bigr)=\)

\(=\Bigl(\frac{a+b}{1} ^{\color{blue}{\backslash{a+b}}} -\frac{2ab}{a+b}\Bigr):\Bigl(\frac{a-b}{a+b} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} +\frac{b}{a} ^{\color{blue}{\backslash{a+b}}} \Bigr)=\)

\(=\frac{(a+b)^2-2ab}{a+b} : \frac{a(a-b)+b(a+b)}{a(a+b)}=\)

\(=\frac{a^2+\cancel{2ab}+b^2-\cancel{2ab}}{a+b} : \frac{a^2-\cancel{ab}+\cancel{ab}+b^2}{a(a+b)}=\)

\(=\frac{a^2+b^2}{a+b} : \frac{a^2+b^2}{a(a+b)}=\)

\(=\frac{a^2+b^2}{a+b} \cdot \frac{a(a+b)}{a^2+b^2}=\)

\(=\frac{\cancel{(a^2+b^2)}\cdot a\cancel{(a+b)}}{\cancel{(a+b)}\cdot\cancel{(a^2+b^2)}}=a \)

в) \(\displaystyle(x^2-1)\Bigl(\frac{1}{x-1} ^{\color{blue}{\backslash{x+1}}} -\frac{1}{x+1} ^{\color{blue}{\backslash{x-1}}} +1 ^{\color{blue}{\backslash{x^2-1}}} \Bigr)=\)

\(=\displaystyle\frac{x^2-1}{1}\cdot\frac{(x+1)-(x-1)+(x^2-1)}{x^2-1}=\)

\(=\displaystyle\frac{\cancel{(x^2-1)}\cdot(\cancel{x}+1-\cancel{x}+\cancel{1}+x^2-\cancel{1})}{\cancel{x^2-1}}=\)

\(=1+x^2\).

г) \(\displaystyle \Bigl(m+1-\frac{1}{1-m}\Bigr)\;:\;\Bigl(m-\frac{m^2}{m-1}\Bigr)=\)

\(=\displaystyle \Bigl(\frac{m+1}{1} ^{\color{blue}{\backslash{m-1}}} +\frac{1}{m-1}\Bigr)\;:\;\Bigl(m ^{\color{blue}{\backslash{m-1}}} -\frac{m^2}{m-1}\Bigr)=\)

\(=\frac{(m+1)(m-1)+1}{m-1} : \frac{m(m-1)-m^2}{m-1}=\)

\(=\frac{m^2-\cancel{1}+\cancel{1}}{m-1} : \frac{\cancel{m^2}-m-\cancel{m^2}}{m-1}=\)

\(=\frac{m^2}{m-1} : \frac{-m}{m-1}=\)

\(=-\frac{m^2}{m-1} \cdot \frac{m-1}{m}=\)

\(=-\frac{m^{\cancel{2}}\cdot\cancel{(m-1)}}{\cancel{(m-1)}\cdot \cancel{m}} =-m\)

Пояснения:

Основные используемые правила:

1) Порядок действий:

если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, а затем за скобками.

2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители, затем выполняем сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

3) Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:

\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)

4) Вынос общего множителя:

\(\displaystyle p\,a+p\,b=p(a+b).\)

5) Разность квадратов:

\(\displaystyle x^2-y^2=(x-y)(x+y).\)

6) Квадрат суммы двух выражений:

\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);

7) Противоположные выражения:

\(a-b = -(b-a)\).

8) Свойство степени:

\(a^nb^n = (ab)^n\).

а) \( \frac{x+2}{x^2-2x+1}\cdot\frac{3x-3}{x^2-4}-\frac{3}{x-2}=\)

\(= \frac{x+2}{(x-1)^2}\cdot\frac{3(x-1)}{(x-2)(x+2)} - \frac{3}{x-2}=\)

\(= \frac{\cancel{(x+2)}\cdot 3\cancel{(x-1)}}{(x-1)^{\cancel{2}}\cdot(x-2)\cancel{(x+2)}} - \frac{3}{x-2}=\)

\(= \frac{3}{(x-1)(x-2)} - \frac{3}{x-2} ^{\color{blue}{\backslash{x-1}}} =\)

\(= \frac{3-3(x-1)}{(x-1)(x-2)} =\)

\(= \frac{3-3x+3}{(x-1)(x-2)} =\)

\(= \frac{-3x+6}{(x-1)(x-2)} =\)

\(= \frac{-3\cancel{(x-2)}}{(x-1)\cancel{(x-2)}} =\)

\(=\frac{3}{-(x-1)}=\frac{3}{1-x}.\)

б) \(\frac{a-2}{4a^2+16a+16}:\Bigl(\frac{a}{2a-4}-\frac{a^2+4}{2a^2-8}-\frac{2}{a^2+2a}\Bigr)=\)

\(=\frac{a-2}{4(a^2+4a+4)}:\Bigl(\frac{a}{2(a-2)}-\frac{a^2+4}{2(a^2-4)}-\frac{2}{a(a+2)}\Bigr)=\)

\(= \frac{a-2}{4(a+2)^2}:\Bigl(\frac{a}{2(a-2)} ^{\color{blue}{\backslash{a(a+2)}}} -\frac{a^2+4}{2(a-2)(a+2)} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} -\frac{2}{a(a+2)} ^{\color{blue}{\backslash{2(a-2)}}} \Bigr) =\)

\(=\frac{a-2}{4(a+2)^2}:\frac{a^2(a+2)-a(a^2+4)-4(a-2)}{2a(a-2)(a+2)} =\)

\(=\frac{a-2}{4(a+2)^2}:\frac{\cancel{a^3}+2a^2-\cancel{a^3}-4a-4a+8}{2a(a-2)(a+2)} =\)

\(=\frac{a-2}{4(a+2)^2}:\frac{2a^2-8a+8}{2a(a-2)(a+2)} =\)

\(=\frac{a-2}{4(a+2)^2}:\frac{2(a^2-4a+4)}{2a(a-2)(a+2)} =\)

\(=\frac{a-2}{4(a+2)^2}:\frac{\cancel{2}(a-2)^{\cancel{2}}}{\cancel{2}a\cancel{(a-2)}(a+2)} =\)

\(=\frac{a-2}{4(a+2)^2}\cdot\frac{a(a+2)}{a-2}=\)

\(=\frac{\cancel{(a-2)}\cdot a\cancel{(a+2)}}{4(a+2)^{\cancel{2}}\cdot\cancel{(a-2)}}=\)

\(=\frac{a}{4(a+2)}.\)

Пояснения:

Основные используемые правила:

1) Порядок действий:

если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, а затем за скобками;

если в выражении нет скобок, то сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

3) Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:

\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)

4) Вынос общего множителя:

\(\displaystyle p\,a+p\,b=p(a+b).\)

5) Разность квадратов:

\(\displaystyle x^2-y^2=(x-y)(x+y).\)

6) Квадрат суммы двух выражений:

\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

7) Квадрат разности двух выражений:

\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\);

8) Противоположные выражения:

\(a-b = -(b-a)\).

9) Свойство дроби:

\(\frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}\).