Упражнение 127 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\displaystyle \frac{a^2 - b^2}{a^2 - 3a}\;\cdot\;\frac{2a - 6}{b^2 + 2ab + a^2}=\)

\(= \frac{(a - b)(a + b)}{a(a - 3)} \;\cdot\; \frac{2(a - 3)}{(a + b)^2} =\)

\(=\frac{(a - b)\,\cancel{(a + b)}\cdot2\cancel{(a - 3)}}{a\,\cancel{(a - 3)}\cdot(a + b)^{\cancel{2}}} =\)

\(=\frac{2\,(a - b)}{a\,(a + b)}. \)

б) \(\displaystyle \frac{bx + 3b}{x^2 - 25}\;\cdot\;\frac{25 - 10x + x^2}{ax + 3a}=\)

\(= \frac{b\,(x + 3)}{(x - 5)(x + 5)} \;\cdot\; \frac{(x - 5)^2}{a\,(x + 3)} =\)

\(=\frac{b\,\cancel{(x + 3)}\cdot(x - 5)^{\cancel{2}}}{\cancel{(x - 5)}(x + 5)\cdot a\cancel{(x + 3)}} =\)

\(=\frac{b\,(x - 5)}{a\,(x + 5)}. \)

Пояснения:

Использованные приёмы:

• Для умножения дробей перемножаем числители и знаменатели отдельно, при этом если возможно, сначала числители и знаменатели умножаемых дробей раскладываем на множители:

- разность квадратов двух выражений:

\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\);

- вынесение общего множителя за скобки:

\(ka+kb=k(a+b)\);

- квадрат разности двух выражений:

\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\);

- квадрат суммы двух выражений:

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\);

- квадрат противоположных выражений:

\((a-b)^2 = (b-a)^2\).

• Сокращение: одинаковые множители в числителе и знаменателе сокращаются.

а) \(\displaystyle \frac{x^2 - 10x + 25}{3x + 12}\;\cdot\;\frac{x^2 - 16}{2x - 10} =\)

\(=\frac{(x - 5)^2}{3(x + 4)}\;\cdot\;\frac{(x - 4)(x + 4)}{2(x - 5)} =\)

\(=\frac{(x - 5)^{\cancel{2}}\cdot(x - 4)\cancel{(x + 4)}}{3\cancel{(x + 4)}\cdot2\cancel{(x - 5)}} =\)

\(=\frac{(x - 5)(x - 4)}{6}. \)

б) \(\displaystyle \frac{1 - a^2}{4a + 8b}\;\cdot\;\frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{3 - 3a} = \)

\(=\frac{(1-a)(1+a)}{4(a + 2b)}\;\cdot\;\frac{(a + 2b)^2}{3(1 - a)} =\)

\(=\frac{\cancel{(1-a)}(1+a)\cdot(a + 2b)^{\cancel{2}}}{4\cancel{(a + 2b)}\cdot3\cancel{(1 - a)}}=\)

\(=\frac{(1+a)(a + 2b)}{12}. \)

в) \(\displaystyle \frac{y^2 - 25}{y^2 + 12y + 36}\;\cdot\;\frac{3y + 18}{2y + 10} =\)

\(=\frac{(y - 5)(y + 5)}{(y + 6)^2}\;\cdot\;\frac{3(y + 6)}{2(y + 5)} = \)

\(=\frac{(y - 5)\cancel{(y + 5)}\cdot3\cancel{(y + 6)}}{(y + 6)^{\cancel{2}}\cdot2\cancel{(y + 5)}}=\)

\(=\frac{3(y - 5)}{2(y + 6)}. \)

г) \(\displaystyle \frac{b^3 + 8}{18b^2 + 27b}\;\cdot\;\frac{2b + 3}{b^2 - 2b + 4} =\)

\(=\frac{(b + 2)(b^2 - 2b + 4)}{9b(2b + 3)}\;\cdot\;\frac{2b + 3}{b^2 - 2b + 4} =\)

\(=\frac{(b + 2)\cancel{(b^2 - 2b + 4)}\cdot\cancel{(2b + 3)}}{9b\cancel{(2b + 3)}\cdot\cancel{(b^2 - 2b + 4)}}=\)

\(=\frac{b + 2}{9b}. \)

Пояснения:

Использованные приёмы:

• Для умножения дробей перемножаем числители и знаменатели отдельно, при этом если возможно, сначала числители и знаменатели умножаемых дробей раскладываем на множители:

- разность квадратов двух выражений:

\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\);

- вынесение общего множителя за скобки:

\(ka+kb=k(a+b)\);

- квадрат разности двух выражений:

\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\);

- квадрат суммы двух выражений:

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\);

- сумма кубов двух выражений:

\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\).

• Сокращение: одинаковые множители в числителе и знаменателе сокращаются.