Упражнение 61 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \frac{a^2 - 43}{a - 6} + \frac{7}{a - 6} =\)

\(=\frac{a^2 - 43 + 7}{a - 6} = \frac{a^2 - 36}{a - 6} =\)

\(=\frac{\cancel{(a - 6)}(a + 6)}{\cancel{a - 6}} = a + 6. \)

Если \(a = 10{,}25\), то

\( 10{,}25 + 6 = 16{,}25. \)

б) \( \frac{9b - 1}{b^2 - 9} - \frac{6b - 10}{b^2 - 9} =\)

\(=\frac{(9b - 1) - (6b - 10)}{b^2 - 9} =\)

\(=\frac{9b - 1 - 6b + 10}{b^2 - 9} = \frac{3b + 9}{b^2 - 9}= \)

\(=\frac{3\cancel{(b + 3)}}{(b - 3)\cancel{(b + 3)}} = \frac{3}{b - 3}. \)

Если \(b = 3{,}5\), то

\[ \frac{3}{3{,}5 - 3} = \frac{3}{0{,}5} =\frac{30}{5} = 6. \]

Пояснения:

1. При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями складываются (или вычитаются) их числители, а знаменатель остаётся тем же:

\( \frac{A}{D} + \frac{B}{D} = \frac{A + B}{D},\)

\(\frac{A}{D} - \frac{B}{D} = \frac{A - B}{D}. \)

2. После получения единой дроби выполняется приведение подобных: складываются или вычитаются члены в числителе, а знаменатель остаётся прежним.

3. При необходимости дробь сокращается, если числитель и знаменатель имеют общий множитель.

— в пункте а):

\(a^2 - 36 = (a - 6)(a + 6)\), что дает общий множитель \(a-6\) в числителе и знаменателе.

— в пункте б):

\(3b + 9 = 3(b + 3)\) и

\(b^2 - 9 = (b - 3)(b + 3)\), что дает общий множитель \(b+3\) в числителе и знаменателе.

4. После сокращения получаем простые выражения, в которые подставляем заданные значения переменных и выполняем вычисления.

а) \( \frac{x}{y-1} + \frac{5}{1-y} = \)

\(=\frac{x}{y-1} - \frac{5}{y-1} = \frac{x - 5}{y-1}. \)

б) \( \frac{a}{c-3} - \frac{6}{3-c} =\)

\(=\frac{a}{c-3} + \frac{6}{c-3} = \frac{a + 6}{c-3}. \)

в) \( \frac{2m}{m-n} + \frac{2n}{n-m} =\)

\(=\frac{2m}{m-n} - \frac{2n}{m-n} =\)

\(=\frac{2m - 2n}{m-n} = \frac{2\cancel{(m-n)}}{\cancel{m-n}} = 2. \)

г) \( \frac{5p}{2q-p} + \frac{10q}{p-2q} =\)

\(=\frac{5p}{2q-p} - \frac{10q}{2q-p} =\)

\(=\frac{5p - 10q}{2q-p} = \frac{-5\cancel{(2q-p)}}{\cancel{2q-p}} = -5. \)

д) \( \frac{a^2 + 16}{a-4} + \frac{8a}{4-a} =\)

\(=\frac{a^2 + 16}{a-4} - \frac{8a}{a-4} = \)

\(=\frac{a^2 + 16 - 8a}{a-4} =\frac{a^2 - 8a + 16}{a-4} =\)

\(=\frac{(a-4)^{\cancel{2}}}{\cancel{a-4}} =a-4. \)

е) \( \frac{x^2 + 9y^2}{x - 3y} + \frac{6xy}{3y - x} =\)

\(=\frac{x^2 + 9y^2}{x - 3y} - \frac{6xy}{x - 3y} =\)

\(=\frac{x^2 + 9y^2 - 6xy}{x - 3y} =\frac{x^2 - 6xy + 9y^2}{x - 3y} =\)

\(=\frac{(x-3y)^{\cancel{2}}}{\cancel{x-3y}} = x - 3y. \)

Пояснения:

1) При одинаковых по модулю, но противоположных по знаку знаменателях удобно заменить один из знаменателей на противоположный, чтобы привести дроби к общему знаменателю :

\(a-b=-(b-a)\).

а) \(1-y=-(y-1)\).

б) \(3-c=-(c-3)\).

в) \(n-m=-(m-n)\).

г) \(p-2q=-(2q-p)\).

д) \(4-a=-(a-4)\).

е) \(3y-x=-(x-3y)\).

2) Если числитель или знаменатель дроби заменить на противоположное выражение и при этом поменять знак перед дробью, то получится дробь, равная данной, то есть

\( \frac{A}{B} = -\frac{-A}{B} = -\frac{A}{-B},\)

где \(A\) и \(B\) - многочлены, причем \(B\) ненулевой многочлен.

3) При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями складываются (или вычитаются) их числители, а знаменатель остаётся тем же:

\( \frac{A}{D} + \frac{B}{D} = \frac{A + B}{D},\)

\(\frac{A}{D} - \frac{B}{D} = \frac{A - B}{D}. \)

4) ) Затем, если возможно, числитель полученной дроби раскладываем на множители, используя следующие приемы:

- вынесение общего множителя за скобки:

\(ax+bx=(a+b)x\);

- квадрат суммы двух выражений:

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\);

- квадрат разности двух выражений:

\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\).

5) Если возможно, сокращаем дробь на общий множитель числителя и знаменателя.