Упражнение 1313 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 285

а) \(\displaystyle y=\frac{2x+3}{x}=2+\frac{3}{x}\),

Область определения: \(x\ne0\).

б) \(\displaystyle y=\frac{4-5x}{x}=\frac{4}{x}-5\),

Область определения: \(x\ne0\).

в) \(\displaystyle y=\frac{12}{x-4}\),

Область определения: \(x\ne4\).

г) \(\displaystyle y=-\,\frac{6}{x+3}\),

Область определения: \(x\ne-3\).

Пояснения:

Использованные правила.

Деление многочлена на \(x\) раскладываем как \(\displaystyle \frac{ax+b}{x}=a+\frac{b}{x}\).

График \(\displaystyle y=\frac{k}{x}\) — гипербола с асимптотами \(x=0\) и \(y=0\). Сдвиги: \(\displaystyle y=a+\frac{k}{x}\) — вертикальный сдвиг на \(a\) (горизонтальная асимптота \(y=a\)); \(\displaystyle y=\frac{k}{x-h}\) — горизонтальный сдвиг на \(h\) (вертикальная асимптота \(x=h\)).

а) \(\displaystyle y=2+\frac{3}{x}\).

Это гипербола \(\displaystyle \frac{3}{x}\), сдвинутая вверх на \(2\). Поэтому вертикальная асимптота остаётся \(x=0\), горизонтальная становится \(y=2\). Знаки: при \(x>0\) \(y>2\); при \(x<0\) \(y<2\).

б) \(\displaystyle y=-5+\frac{4}{x}\).

Сдвиг гиперболы \(\displaystyle \frac{4}{x}\) вниз на \(5\). Асимптоты: \(x=0\), \(y=-5\).

в) \(\displaystyle y=\frac{12}{x-4}\).

Это гипербола, сдвинутая вправо на \(4\). Асимптоты: \(x=4\), \(y=0\). Значения \(y\) положительны при \(x>4\) и отрицательны при \(x<4\). Пересечения с осью \(Ox\) нет, так как дробь с ненулевым числителем не равна нулю.

г) \(\displaystyle y=-\frac{6}{x+3}\).

Гипербола, сдвинутая влево на \(3\) и отражённая по знаку. Асимптоты: \(x=-3\), \(y=0\). Ветвь во II четверти (при \(x<-3\)) выше оси \(Ox\), во IV четверти (при \(x>-3\)) ниже оси \(Ox\).

Асимптота — это прямая, к которой график функции неограниченно приближается, но никогда не пересекает.