Упражнение 1312 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 285

\(y = \dfrac{3x + 1}{x}\)

ОДЗ: \(x \ne0\).

а) \(x=0\) - не пересекает график функции, так как область определения функции все числа, кроме \(x\ne0\).

б) \(y=0\)

\(\dfrac{3x + 1}{x} = 0\)

\(3x + 1 = 0\)

\(3x = -1\)

\(x = -\dfrac{1}{3}\)

График функции пересекает прямую \(y=0\) в точке \(\left(-\dfrac{1}{3},0\right)\).

в) \(x=3\):

\( y = \dfrac{3\cdot3 + 1}{3} = \dfrac{10}{3} = 3\dfrac13\)

График функции пересекает прямую \(x=3\) в точке \((3,\dfrac{10}{3})\).

г) \(y=3\):

\(\dfrac{3x + 1}{x} = 3\)   \(/\times x\)

\( 3x + 1 = 3x\)

\(\cancel{3x} + 1 - \cancel{3x}=0\)

\( 1 = 0\) - неверно.

График функции не пересекает прямую \(y=3\).

Пояснения:

Основные формулы и понятия:

Функция \(y = \dfrac{3x + 1}{x}\) может быть преобразована к виду:

\[ y = 3 + \dfrac{1}{x}. \]

Это гипербола, смещённая вверх на 3 единицы. Область определения — все \(x\), кроме \(x=0\).

а) Согласно области определения функции \(x \ne 0\), поэтому пересечений графика функции с прямой \(x=0\) нет.

б) Решив уравнение при \(y=0\), нашли корень этого уравнения \(x=-\dfrac{1}{3}\), значит, график функции пересекает прямую \(y=0\).

в) Подставляя значение \(x=3\) в формулу функции, получили \( y = 3\dfrac13\), значит, график функции пересекает прямую \(x=3\).

г) Решив уравнение при \(y=3\), получили неверное равенство, то есть уравнение не имеет корней, значит, график функции не пересекает прямую \(y=3\).