Упражнение 1290 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 283

\((x^{2} - a^{2})^{2} = 4ax + 1\)

\(4ax + 1 \ge 0\)

\((x + a)^2(x - a)^2 = 4ax + 1\)

\((x + a)^2(x - a)^2 = x^2 - x^2 +a^2 - a^2 + 2ax + 2ax + 1\)

\((x + a)^2(x - a)^2 = (x^2 + 2ax+a^2)-(x^2- 2ax +a^2) + 1\)

\((x + a)^2(x - a)^2 = (x+a)^2-(x-a)^2 + 1\)

Пусть \((x + a)^2 = m\), \((x - a)^2 = n\),

\(m \ge0\),  \(n\ge 0\).

\(mn = m - n + 1\)

\(mn + n - m - 1 = 0\)

\(n(m+1) - (m+1) = 0\)

\((m+1)(n-1) = 0\)

\(m + 1 = 0\)      или     \(n - 1 = 0\)

\(m = -1 < 0\)             \(n = 1\)

Если \(n = 1\), то

\((x - a)^2 = 1\)

\(x - a = \pm\sqrt1\)

\(x - a = \pm1\)

\(x = \pm1 + a\)

Проверка:

1) \(x = 1 + a\),   \(4ax + 1 \ge 0\)

\(4a(1+a)  + 1 \ge 0\)

\(4a + 4a^2 + 1 \ge0\)

\((2a + 1)^2 \ge0\) - верно при любом \(a\).

1) \(x = -1 + a\),   \(4ax + 1 \ge 0\)

\(4a(-1+a)  + 1 \ge 0\)

\(-4a + 4a^2 + 1 \ge0\)

\((2a - 1)^2 \ge0\) - верно при любом \(a\).

Ответ: \(x = \pm1 + a\)

Пояснения:

В первую очередь при поиске корней данного уравнения учитываем то, что \(4ax + 1 \ge 0\).

При решении уравнения в левой части уравнения применяем формулу разности квадратов

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a +b)\)

и учитываем свойство возведения произведения в степень \((ab)^n = a^nb^n\).

А в правой части получаем квадрат суммы и квадрат разности выражений \(x\) и \(a\), учитывая то, что значение выражения не изменится, если к нему прибавить и вычесть одно и то же выражение.

Затем вводим новые переменные

\((x + a)^2 = m\), \((x - a)^2 = n\),

где \(m \ge0\),  \(n\ge 0\) и получаем уравнение:

\((m+1)(n-1) = 0\).

Откуда \(m = -1\) и \(n = 1\). Но \(m = -1\) не подходит, так как должно выполняться условие \(m \ge0\).

Из того, что \(n = 1\) имеем

\((x - a)^2 = 1\), откуда \(x = \pm1 + a\).

Выполнив проверку, убеждаемся, что при \(x = \pm1 + a\) выполняется условие \(4ax + 1 \ge 0\). Следовательно,

\(x = 1 + a\) и \(x = -1 + a\) являются корнями рассматриваемого уравнения.