Упражнение 1289 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 283

\(x^{2} + x + m = 0\)

Пусть корни уравнения: \(x_1\) и \(x_2\).

\(x_1^2 + x_2^2 = 13\)

\(m\) - ?

По теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = -1, \quad x_1x_2 = m. \]

\( x_1^2 + x_2^2 =\)

\(=(x_1^2 +2x_1x_2+ x_2^2) - 2x_1x_2=\)

\(=(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2\)

\((x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2=13\)

\((-1)^2 - 2m=13\)

\(1-2m = 13\)

\(-2m = 13 - 1\)

\(-2m = 12\)

\(m = -\frac{12}{2}\)

\(m = - 6\)

Ответ: \(m = -6.\)

Пояснения:

Для квадратного уравнения

\(x^2 + px + q = 0\) по теореме Виета выполняется: \[ x_1 + x_2 = -p, \quad x_1x_2 = q. \]

Формула для суммы квадратов корней выводится из тождества:

\( (x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2\),

следовательно,

\(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2. \)

Подстановка значений из теоремы Виета позволяет выразить сумму квадратов через коэффициенты уравнения и найти \(m\).