Упражнение 1292 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 284

\(x^{2} + px + 1 = 0\)

Пусть корни уравнения: \(x_1\) и \(x_2\).

\(x_1^2 + x_2^2 = 254\)

\(p \) - ?

По теореме Виета:

\[ x_1 + x_2 = -p, \quad x_1x_2 = 1. \]

\( x_1^2 + x_2^2 =\)

\(=(x_1^2 +2x_1x_2+ x_2^2) - 2x_1x_2=\)

\(=(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2\)

\((x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2=254\)

\( (-p)^2 - 2 \cdot 1 =254\)

\(p^2 - 2 = 254\)

\(p^2 = 254 + 2\)

\(p^2 = 256\)

\(p = \pm \sqrt{256}\)

\(p = \pm 16\)

Ответ: \(p = 16\) или \(p = -16.\)

Пояснения:

Для квадратного уравнения

\(x^2 + px + q = 0\) по теореме Виета выполняется: \[ x_1 + x_2 = -p, \quad x_1x_2 = q. \]

Формула для суммы квадратов корней выводится из тождества:

\( (x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2\),

следовательно,

\(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2. \)

Подстановка значений из теоремы Виета позволяет выразить сумму квадратов через коэффициенты уравнения и найти \(p\).