Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№1078 учебника 2023-2025 (стр. 239):
На рисунке 53 изображён график функции \(y=g(x)\), областью определения которой служит отрезок \([-6;5]\). С помощью графика найдите:
а) \(g(-4), g(-1), g(1), g(5)\);
б) значения \(x\), при которых \(g(x)=4, g(x)=-4, g(x)=0\);
в) наибольшее и наименьшее значения функции;
г) множество значений функции.
№1078 учебника 2013-2022 (стр. 249):
Как изменится дисперсия ряда чисел \(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}\), если каждое число увеличить на положительное число \(a\)?
Проверьте результат на примере ряда \(1, 3, 6, 8, -1, -2\) и \(a = 4\). Выскажите предположение и проведите доказательство.
№1078 учебника 2023-2025 (стр. 239):
Вспомните:
№1078 учебника 2013-2022 (стр. 249):
Вспомните:
№1078 учебника 2023-2025 (стр. 239):
а) \(g(-4)= -3; g(-1)=-2;\)
\( g(1)=3; g(5)= 3.\)
б) \(g(x)=4\) при \(x=1,5; x=4,5;\)
\(g(x)=-4\) при \(x=-3;\)
\(g(x)=0\) при \(x= -5,\; x=0.\)
в) \(g(x)_{max}=6\); \(g(x)_{min}\approx -4\).
г) \(g(x)\in [-4;\;6].\)
Пояснения:
1) Чтобы найти значение функции в точке, нужно по графику определить ординату соответствующей точки.
2) Чтобы найти значение \(x\), при котором функция равна данному числу, нужно провести горизонтальную прямую и посмотреть, в каких точках она пересекает график.
3) Наибольшее и наименьшее значения — это верхняя и нижняя точки графика на данном промежутке.
4) Множество значений функции — это весь отрезок по оси \(y\) от минимального до максимального значения.
№1078 учебника 2013-2022 (стр. 249):
1) \(1, 3, 6, 8, -1, -2\).
Среднее арифметическое:
\[ \frac{1+3+6+8-1-2}{6}=\frac{15}{6}=2{,}5. \]
Отклонения и их квадраты:
\[ 1-2{,}5=-1{,}5,\quad (-1{,}5)^2=2{,}25; \]
\[ 3-2{,}5=0{,}5,\quad (0{,}5)^2=0{,}25; \]
\[ 6-2{,}5=3{,}5,\quad (3{,}5)^2=12{,}25; \]
\[ 8-2{,}5=5{,}5,\quad (5{,}5)^2=30{,}25; \]
\[ -1-2{,}5=-3{,}5,\quad (-3{,}5)^2=12{,}25; \]
\[ -2-2{,}5=-4{,}5,\quad (-4{,}5)^2=20{,}25. \]
Сумма квадратов отклонений:
\[ 2{,}25+0{,}25+12{,}25+30{,}25+12{,}25+20{,}25=77{,}5. \]
Дисперсия ряда:
\[\frac{77{,}5}{6}=\frac{775}{6}=\frac{155}{12} = 12\frac{11}{12} \]
2) \(a=4\), тогда новый ряд:
\(5, 7, 10, 12, 3, 2\).
Среднее арифметическое нового ряда:
\[\frac{5+7+10+12+3+2}{6}=\frac{39}{6}=6{,}5 \]
Отклонения нового ряда и их квадраты:
\( 5-6{,}5=-1{,}5,\quad (-1{,}5)^2=2{,}25; \)
\(7-6{,}5=0{,}5, \quad (0{,}5)^2=0{,}25; \)
\(10-6{,}5=3{,}5, \quad (3{,}5)^2=12{,}25;\)
\( 12-6{,}5=5{,}5, \quad (5{,}5)^2=30{,}25;\)
\(3-6{,}5=-3{,}5, \quad (-3{,}5)^2=12{,}25;\)
\(2-6{,}5=-4{,}5, \quad (-4{,}5)^2=20{,}25. \)
Сумма квадратов отклонений:
\[ 2{,}25+0{,}25+12{,}25+30{,}25+12{,}25+20{,}25=77{,}5. \]
Дисперсия ряда:
\[\frac{77{,}5}{6}=\frac{775}{6}=\frac{155}{12} = 12\frac{11}{12} \]
Дисперсия не изменилась.
3. Предположение: если кадое число ряда увеличить на одно и то же положительное число, то дисперсия ряда не изменится.
Доказательство:
Пусть исходный ряд:
\(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}\),
тогда новый ряд:
\(x_{1} + a, x_{2} + a, \dots, x_{n} + a\),
Среднее арифметическое исходного ряда:
\(\frac{x_{1}+ x_{2}+ \dots + x_{n}}{n}\)
Отклонения:
\(x_1 ^{\color{blue}{\backslash n}} - \frac{x_{1}+ x_{2}+ \dots + x_{n}}{n} = \)
\(=\frac{nx_{1} - (x_{1}+ x_{2}+ \dots + x_{n})}{n}, \)
\(x_2 ^{\color{blue}{\backslash n}} - \frac{x_{1}+ x_{2}+ \dots + x_{n}}{n} = \)
\(=\frac{nx_{2} - (x_{1}+ x_{2}+ \dots + x_{n})}{n}, \)
\(\dots\)
\(x_n ^{\color{blue}{\backslash n}} - \frac{x_{1}+ x_{2}+ \dots + x_{n}}{n} = \)
\(=\frac{nx_{n} - (x_{1}+ x_{2}+ \dots + x_{n})}{n}. \)
Среднее арифметическое нового ряда:
\(\frac{x_{1} + a + x_{2} + a+ \dots + x_{n} + a}{n}=\)
\(=\frac{x_{1}+ x_{2}+ \dots + x_{n} + na}{n}=\)
\(=\frac{x_{1}+ x_{2}+ \dots + x_{n}}{n} + \frac{na}{n}=\)
\(=\frac{x_{1}+ x_{2}+ \dots + x_{n}}{n} + a\)
Отклонения:
\((x_1+а) - (\frac{x_{1}+ x_{2}+ \dots + x_{n}}{n} +a)= \)
\(=x_1+ \cancel а - \frac{x_{1}+ x_{2}+ \dots + x_{n}}{n} - \cancel a= \)
\(=x_1 ^{\color{blue}{\backslash n}} - \frac{x_{1}+ x_{2}+ \dots + x_{n}}{n} = \)
\(=\frac{nx_{1} - (x_{1}+ x_{2}+ \dots + x_{n})}{n}, \)
\((x_2+а) - (\frac{x_{1}+ x_{2}+ \dots + x_{n}}{n} +a)= \)
\(=x_2+ \cancel а - \frac{x_{1}+ x_{2}+ \dots + x_{n}}{n} - \cancel a= \)
\(=x_2 ^{\color{blue}{\backslash n}} - \frac{x_{1}+ x_{2}+ \dots + x_{n}}{n} = \)
\(=\frac{nx_{2} - (x_{1}+ x_{2}+ \dots + x_{n})}{n}, \)
\(\dots\)
\((x_n+а) - (\frac{x_{1}+ x_{2}+ \dots + x_{n}}{n} +a)= \)
\(=x_n+ \cancel а - \frac{x_{1}+ x_{2}+ \dots + x_{n}}{n} - \cancel a= \)
\(=x_n ^{\color{blue}{\backslash n}} - \frac{x_{1}+ x_{2}+ \dots + x_{n}}{n} = \)
\(=\frac{nx_{n} - (x_{1}+ x_{2}+ \dots + x_{n})}{n}. \)
Отклонения исходного и нового ряда совпали, значит, дисперсии этих рядов равны, так как дисперсия — это среднее арифметическое квадратов отклонений. Следовательно, при добавлении одного и того же числа \(a\) ко всем элементам ряда дисперсия не изменяется. Что и требовалось доказать.
Пояснения:
Чтобы найти среднее арифметическое, складываем все значения в ряду и делим на их количество.
Отклонение каждого значения — это разность между элементом ряда и средним арифметическим. Знак показывает, больше значение среднего или меньше.
Дисперсия — это среднее арифметическое квадратов отклонений.
Вернуться к содержанию учебника