Упражнение 1083 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\[ y = \frac{x^2}{x^2+1}\]

1. \(x^2+1 \neq 0\).

Так как \(x^2+1 > 0\) для любых \(x\), ограничений нет.

\(D=(- \infty; +\infty)\)

2. \( y = \frac{x^2}{x^2+1}\ge 0\) 

\( y = \frac{x^2}{x^2+1}=\frac{x^2+1-1}{x^2+1}= \)

\(=1-\frac{1}{x^2+1}\)

\(\frac{1}{x^2+1}>0\Rightarrow 1-\frac{1}{x^2+1}<1\)

\( E=[0;1). \)

Ответ: \(D=(- \infty; +\infty);\) \( E=[0;1). \) 

Пояснения:

— Для нахождения области определения исключаем точки, где знаменатель равен нулю. Здесь таких нет.

— Чтобы найти множество значений, заметим, что \( y = \frac{x^2}{x^2+1}\ge 0\) для любого значения переменной. Далее избавляемся от переменной  в числители дроби и получаем, что \(1-\frac{1}{x^2+1}<1,\) а значит,  \( y = \frac{x^2}{x^2+1}<1.\)

а) \( 100^{n} = (10^{2})^{n} = 10^{2n}. \)

б) \( 0{,}1 \cdot 100^{n+3} =10^{-1} \cdot (10^{2})^{n+3} =\)

\(=10^{-1} \cdot 10^{2n + 6}=10^{-1 + 2n + 6} =\)

\(=10^{2n + 5}. \)

в) \( 0{,}01^{n} \cdot 10^{2 - 2n} =\)

\(=(10^{-2})^n \cdot 10^{2 - 2n} =\)

\(=10^{-2n} \cdot 10^{2 - 2n} = \)

\(=10^{-2n+2-2n}=10^{2 - 4n}. \)

Пояснения:

Использованы свойства степеней:

\( (a^{m})^{n} = a^{mn}, \)

\(a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}, \)

\((a \cdot b)^{n} = a^{n}b^{n}. \)

Также применено равенство

\(100 = 10^{2}\), \(0{,}1 = 10^{-1}\), \(0{,}01 = 10^{-2}\)

для замены оснований степеней на 10.