Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№490 учебника 2023-2025 (стр. 112):
Найдите значение выражения:
а) \(x^2 - 6\) при \(x = 1 + \sqrt{5}\);
б) \(x^2 - 6x\) при \(x = 3 - \sqrt{3}\);
в) \(x^2 - 4x + 3\) при \(x = 2 + \sqrt{3}\);
г) \(x^2 - 3x + 5\) при \(x = \dfrac{3 + \sqrt{2}}{2}\).
№490 учебника 2013-2022 (стр. 113):
Вынесите множитель за знак корня:
а) \(0{,}5\sqrt{60\,a^2}\);
б) \(2{,}1\sqrt{300\,x^4}\);
в) \(0{,}1\sqrt{150\,x^3}\);
г) \(0{,}2\sqrt{225\,a^5}\);
д) \(a\sqrt{18\,a^2b}\);
е) \(-m\sqrt{48\,a\,m^4}\).
№490 учебника 2023-2025 (стр. 112):
Вспомните:
№490 учебника 2013-2022 (стр. 113):
Вспомните:
№490 учебника 2023-2025 (стр. 112):
а) \(x^2 - 6\)
Если \(x = 1 + \sqrt{5}\), то
\((1+\sqrt5)^2 - 6 =\)
\(=1^2 + 2\cdot\sqrt5\cdot1 + (\sqrt5)^2 - 6= \)
\(=1 + 2\sqrt5 + 5 - 6 = 2\sqrt5.\)
б) \(x^2 - 6x\)
Если \(x = 3 - \sqrt{3}\), то
\((3-\sqrt3)^2 - 6(3-\sqrt3) =\)
\(=3^2 - 2\cdot3\cdot\sqrt3 + (\sqrt3)^2 - 18 + 6\sqrt3 =\)
\(=9 - \cancel{6\sqrt3} + 3 - 18 + \cancel{6\sqrt3} =\)
\(=9 + 3 - 18 = -6.\)
в) \(x^2 - 4x + 3\)
Если \(x = 2 + \sqrt{3}\), то
\((2+\sqrt3)^2 - 4(2+\sqrt3) + 3 = \)
\(=2^2 + 2\cdot2\cdot\sqrt3 + (\sqrt3)^2 - 8 - 4\sqrt3 + 3 =\)
\(=4 + \cancel{4\sqrt3} + 3 - 8 - \cancel{4\sqrt3} + 3 =\)
\(=4+3 - 8 + 3 = 2.\)
г) \(x^2 - 3x + 5\)
Если \(x = \dfrac{3 + \sqrt{2}}{2}\), то
\(\Bigl(\frac{3+\sqrt2}2\Bigr)^2 - 3\cdot\frac{3+\sqrt2}2 + 5 =\)
\(=\frac{(3+\sqrt2)^2}{2^2} - \frac{3\cdot(3+\sqrt2)}2 + 5 =\)
\(=\frac{3^2 + 2\cdot3\cdot\sqrt2 +(\sqrt2)^2}4 - \frac{9+3\sqrt2}2 + 5 =\)
\(=\frac{9 + 6\sqrt2 +2}4 - \frac{9+3\sqrt2}2 ^{\color{blue}{\backslash2}} + 5 ^{\color{blue}{\backslash4}} =\)
\(=\frac{(11 + 6\sqrt2) -2(9 + 3\sqrt2) +20}4 = \)
\(=\frac{11 + \cancel{6\sqrt2} -18 -\cancel{6\sqrt2} +20}4 =\)
\(=\frac{13}4 = 3\frac{1}4 = 3,25.\)
Пояснения:
Использованные правила и приёмы:
1. Квадрат суммы:
\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
2. Квадрат разности:
\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
3. Свойство корня:
\((\sqrt{x})^2 = x\).
4. Свойство степени:
\((\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}\).
5. Распределительное свойство умножения:
\(a(b+c) = ab + ac\).
№490 учебника 2013-2022 (стр. 113):
а) \(0{,}5\sqrt{60\,a^2} =0{,}5\sqrt{4\,a^2\cdot15} =\)
\(=0{,}5\cdot2|a|\sqrt{15} =|a|\sqrt{15}.\)
б) \(2{,}1\sqrt{300\,x^4} =\)
\(=2{,}1\sqrt{100\,(x^2)^2\cdot3} =\)
\(=2{,}1\cdot10|x^2|\sqrt{3} =21x^2\sqrt{3}.\)
в) \(0{,}1\sqrt{150\,x^3} =0{,}1\sqrt{25\,x^2\cdot6x} =\)
\(=0{,}1\cdot5|x|\sqrt{6x} =0{,}5x\sqrt{6x}\)
при \(x \ge 0\).
г) \(0{,}2\sqrt{225\,a^5} =0{,}2\sqrt{225\,a^4\cdot a} =\)
\(=0{,}2\sqrt{225\,(a^2)^2\cdot a}=\)
\(=0{,}2\cdot15|a^2|\sqrt{a} =3a^2\sqrt{a}\)
при \(a \ge 0\).
д) \(a\sqrt{18\,a^2b} =a\sqrt{9\,a^2\cdot2b} =\)
\(=a\cdot3|a|\sqrt{2b} =3a^2\sqrt{2b}\) при \(b \ge 0\).
е) \(-m\sqrt{48\,a\,m^4} =\)
\(=-m\sqrt{16\,(m^2)^2\cdot3a} =\)
\(=-m\cdot4|m^2|\sqrt{3a} =-4mm^2\sqrt{3a}=\)
\(=-4m^3\sqrt{3a}\) при \(a \ge 0\)
Пояснения:
Использованные правила:
1. \(\sqrt{a}\) имеет смысл только при \(a\ge0\).
2. Свойства корня:
\(\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\).
\(\sqrt{k^2}=|k|=k\) при \(k\ge0\);
\(\sqrt{k^2}=|k|=-k\) при \(k\le0\);
4. Свойство степени:
\((a^m)^n= a^{mn}\).
Вернуться к содержанию учебника