Упражнение 225 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\displaystyle \frac{(y - b)^2}{y - b + 1} + \frac{y - b}{y - b + 1}=\)

\(=\displaystyle \frac{(y - b)^2 + (y - b)}{y - b + 1} =\)

\(=\frac{(y - b)\bigl((y - b) + 1\bigr)}{y - b + 1} =\)

\(=\frac{(y - b)\cancel{(y - b + 1)}}{\cancel{y - b + 1}} = y - b.\)

б) \(\displaystyle \frac{(a + x)^2}{a + x - 2} - \frac{2a + 2x}{a + x - 2}=\)

\(=\displaystyle \frac{(a + x)^2 - (2a + 2x)}{a + x - 2} =\)

\(=\frac{(a + x)^2 - 2(a + x)}{a + x - 2} =\)

\(=\frac{(a + x)\cancel{\bigl((a + x) - 2\bigr)}}{\cancel{a + x - 2}} = a + x.\)

в) \(\displaystyle \frac{x^2 - y^2}{x - y - 1} + \frac{x + y}{y - x + 1}=\)

\(=\displaystyle \frac{x^2 - y^2}{x - y - 1} + \frac{x + y}{y - x + 1} =\)

\(=\frac{x^2 - y^2}{x - y - 1} - \frac{x + y}{x - y - 1} =\)

\(=\frac{x^2 - y^2 - (x + y)}{x - y - 1} =\)

\(=\frac{(x - y)(x+y) - (x + y)}{x - y - 1} =\)

\(=\frac{\cancel{(x - y - 1)}(x + y)}{\cancel{x - y - 1}} = x + y.\)

г) \(\displaystyle \frac{b^2 - 9c^2}{b + 3c - 2} + \frac{2(b - 3c)}{2 - b - 3c}=\)

\( = \frac{b^2 - 9c^2}{b + 3c - 2} - \frac{2(b - 3c)}{b + 3c - 2} =\)

\(=\frac{b^2 - 9c^2 - 2(b - 3c)}{b + 3c - 2} =\)

\(=\frac{(b-3c)(b+3c) - 2(b - 3c)}{b + 3c - 2} =\)

\(=\frac{\cancel{(b + 3c - 2)}(b - 3c)}{\cancel{b + 3c - 2}} =b - 3c.\)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) Сложение и вычитание дробей с одинаковым знаменателем: \[\frac{A}{C} \pm \frac{B}{C} = \frac{A \pm B}{C}.\]

2) Вынесение общего множителя: \[A^2 - B = A(A - \tfrac{B}{A}),\] в частности \(t^2 - 2t = t(t - 2).\)

3) Формула разности квадратов: \[A^2 - B^2 = (A - B)(A + B).\]

4) Изменение знака при перенесении минуса из знаменателя: \[\frac{P}{-Q} = -\frac{P}{Q}.\]

В каждой части сначала объединили дроби с общим знаменателем, затем показали, что числитель содержит множитель, равный этому знаменателю, после чего выполнили сокращение и получили многочлен.

а) \(\displaystyle \frac{x+y}{y}=3\;\Longrightarrow\;\frac{x}{y}+1=3\;\Longrightarrow\;\frac{x}{y}=2.\)

б) \(\displaystyle \frac{y}{x+y} = \frac{1}{\frac{x+y}{y}} = \frac{1}{3}.\)

в) \(\displaystyle \frac{x-y}{y} = \frac{x}{y} - \frac{y}{y} = 2 - 1 = 1.\)

г) \(\displaystyle \frac{y}{x} = \frac{1}{\frac{x}{y}} = \frac{1}{2}.\)

Пояснения:

1) Из равенства \(\frac{x+y}{y}=3\) выразили \(\frac{x}{y}\), вычитая 1:

\[\frac{x}{y} = 3 - 1 = 2.\]

2) Дробь \(\frac{y}{x+y}\)  является обратной к \(\frac{x+y}{y}\):

\[\frac{y}{x+y} = \frac{1}{\frac{x+y}{y}} = \frac{1}{3}.\]

3) Разность \(\frac{x-y}{y}\) разложили на две дроби с общим знаменателем \(y\):

\[\frac{x-y}{y} = \frac{x}{y} - \frac{y}{y} = 2 - 1 = 1.\]

4) Доля \(\frac{y}{x}\) является обратной к \(\frac{x}{y}\):

\[\frac{y}{x} = \frac{1}{\frac{x}{y}} = \frac{1}{2}.\]