Упражнение 1195 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 233

Обозначим через \(x\) га и \(y\) га площади первого и второго поля соответственно. Известно, что в первый день засеяли 340 га и во второй день засеяли \(\frac13\) оставшейся части первого поля, что на 60 га меньше половины оставшейся части второго поля.

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} \tfrac14x + \tfrac13y = 340,    /\times(-1) \\ \tfrac14x = \tfrac13y - 60 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -\tfrac14x - \tfrac13y = -340, \\ \tfrac14x - \tfrac13y = -60 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -\tfrac23y = -400,      /\times(-3) \\ \tfrac14x - \tfrac13y = -60   /\times12 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 2y = 1200, \\ 3x - 4y = -720 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = \frac{1200}{2}, \\ 3x = 4y - 720 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y =600, \\ 3x = 4\cdot600 - 720 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y =600, \\ 3x = 2400 - 720 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y =600, \\ 3x = 1680 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y =600, \\ x = \frac{1680}{3} \end{cases} \)

\( \begin{cases} y =600, \\ x = 560 \end{cases} \)

Ответ: первое поле — 560 га, второе поле — 600 га.

Пояснения:

– Пусть \(x\) и \(y\) — искомые площади полей.

– Первая часть задачи даёт линейное уравнение с дробными коэффициентами, отражающее засеянные доли полей.

– Во второй части использовали понятие «остаток»: после первого дня остаётся \(\tfrac34x\) и \(\tfrac23y\).

– Превращение «\(\tfrac13\) оставшегося» и «половины оставшегося» в дробные выражения дало второе уравнение.

– Решили систему методом сложения: складываем почленно уравнения системы так, чтобы в новом уравнении исчезла одна из переменных. Там, где необходимо, одно из уравнений или оба уравнения делим или умножаем на числа так, чтобы перед одной из переменных получить противоположные коэффициенты, которые при сложении приведут к сокращению выражений с этой переменной.

– После сложения уравнений системы получается линейное уравнение с одной переменной, решение которого дает значение этой переменной.

– Уравнение вида \(ax = b\) называется линейным и при \(a \neq 0\) имеет единственный корень \(x=\frac{b}{a}\).

– Подстановка: после нахождения одной переменной подставляем её значение в одно из исходных уравнений для вычисления значения второй переменной.

1. \( p = 30q + r, \quad 0 \le r < 30, \)

где \(p\) - простое число, \(q\) — целое, \(r\) — искомый остаток.

2. Если \(p=2,3,5\), то при делении на 30 остаток равен самому \(p\), то есть простому.

3. Пусть теперь \(p>5\). Так как \(p\) — простое и отличается от 2, 3 и 5, оно не делится на 2, 3 и 5. Поэтому при делении \(r\) на 2, на 3 и на 5 всегда остаётся ненулевой остаток.

4. Остаток \(r\) — целое число от 1 до 29, не дающее целого частного при делении ни на 2, ни на 3, ни на 5:

\(\{1,7,11,13,17,19,23,29\}.\)

Следовательно, остаток \(r\) равен либо 1, либо одному из простых чисел 7, 11, 13, 17, 19, 23 или 29.

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

– Деление с остатком: \(p=30q+r\), где \(0\le r<30\).

– Для простого \(p>5\) исключена кратность 2, 3 и 5, значит, остаток не делится на эти числа.

– Проверка всех целых от 1 до 29 с этим свойством показывает, что возможны лишь единица и простые числа.

– Отдельно рассматриваются случаи \(p=2,3,5\): остаток равен \(p\).