Упражнение 1082 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((5c^2 - c + 8)(2c - 3) - 16= \)

\( (5c^2 - c + 8)(2c - 3) -16 =\)

\( =5c^2 \cdot 2c + 5c^2 \cdot (-3) + (-c) \cdot 2c + (-c) \cdot (-3) + 8 \cdot 2c + 8 \cdot (-3)-16=\)

\( = 10c^3 - 15c^2 - 2c^2 + 3c + 16c - 24 -16 =\)

\(=10c^3 - 17c^2 + 19c - 40. \)

б) \(18m^3 - (3m - 4)(6m^2 + m - 2)=\)

\(= 18m^3 -(3m - 4)(6m^2 + m - 2) =\)

\(= 18m^3 -(3m \cdot 6m^2 + 3m \cdot m + 3m \cdot (-2) + (-4) \cdot 6m^2 + (-4) \cdot m + (-4) \cdot (-2))=\)

\(= 18m^3 -(18m^3 + 3m^2 - 6m - 24m^2 - 4m + 8=\)

\(= 18m^3 -(18m^3 - 21m^2 - 10m + 8)=\)

\(= 18m^3 - 18m^3 + 21m^2 + 10m - 8 =\)

\(=21m^2 + 10m - 8. \)

Пояснения:

Для представления выражения в виде многочлена применяются следующие действия:

• Распределительное умножение (раскрытие скобок): каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго.
• Приведение подобных слагаемых: складываются одноимённые слагаемые (одинаковая степень и переменная).
• При наличии вычитания целого выражения — обязательно заключить в скобки и аккуратно раскрыть со знаком минус.

а) Сначала перемножили два трёхчлена, затем привели подобные, потом вычли 16.

б) Сначала раскрыли скобки произведения, затем вычли полученное из исходного выражения.

а) \( \begin{cases} 2x + 11y = 15,\\ 10x - 11y = 9; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 12x = 24,\\ 10x - 11y = 9; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = \frac{24}{12},\\ 10x - 11y = 9; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = \frac{24}{12},\\ 11y =10x - 9; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 2,\\ y =\frac{10x - 9}{11}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 2,\\ y =\frac{10\,\cdot\,2 - 9}{11}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 2,\\ y =\frac{20 - 9}{11}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 2,\\ y =\frac{11}{11}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 2,\\ y =1. \end{cases} \)

Ответ: \( x = 2\), \(y =1\).

б) \( \begin{cases} 8x - 17y = 4,\\ -8x + 15y = 4; \end{cases} \)

\( \begin{cases} -2y = 8,\\ -8x + 15y = 4; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = -\frac{8}{2},\\ 8x = 15y - 4; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = -4,\\ x = \frac{15y - 4}{8}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = -4,\\ x = \frac{15\,\cdot\,(-4) - 4}{8}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = -4,\\ x = \frac{-60-4}{8}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = -4,\\ x = \frac{-64}{8}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = -4,\\ x = -8; \end{cases} \)

Ответ: \( x = -8\), \(y = -4\).

в) \( \begin{cases} 4x - 7y = 30,\\ 4x - 5y = 90;   /\times(-1) \end{cases} \)

\( \begin{cases} 4x - 7y = 30,\\ -4x + 5y = -90; \end{cases} \)

\( \begin{cases} -2y = -60,\\ -4x + 5y = -90; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y =-\frac{60}{2},\\ 4x = 5y + 90; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 30,\\ x = \frac{5y + 90}{4}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 30,\\ x = \frac{5\,\cdot\,30 + 90}{4}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 30,\\ x = \frac{150 + 90}{4}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 30,\\ x = \frac{240}{4}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 30,\\ x = 60; \end{cases} \)

Ответ: \(x = 60\), \(y=30\).

г) \( \begin{cases} 13x - 8y = 28,\\ 11x - 8y = 24; /\times(-1) \end{cases} \)

\( \begin{cases} 13x - 8y = 28,\\ -11x + 8y = -24. \end{cases} \)

\( \begin{cases} 2x = 4,\\ -11x + 8y = -24. \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = \frac{4}{2},\\ 8y = 11x-24. \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 2,\\ y = \frac{11x-24}{8}. \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 2,\\ y = \frac{11\,\cdot\,2-24}{8}. \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 2,\\ y = \frac{22-24}{8}. \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 2,\\ y = \frac{22-24}{8}. \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 2,\\ y = \frac{-2}{8}. \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 2,\\ y = -0,25. \end{cases} \)

Ответ: \(x = 2\), \(y = -0,25\).

Пояснения:

Правила и приёмы:

1) Решение системы методом сложения: складываем почленно уравнения системы так, чтобы в новом уравнении исчезла одна из переменных, там где необходимо одно из уравнений умножаем на \(-1\), чтобы перед одной из переменных получить противоположные коэффициенты, которые при сложении приведут к сокращению выражений с этой переменной.

2) После сложения уравнений системы получается линейное уравнение с одной переменной, решение которого дает значение этой переменной.

3) Уравнение вида \(ax = b\) называется линейным и при \(a \neq 0\) имеет единственный корень \(x=\frac{b}{a}\).

4) Подстановка: после нахождения одной переменной подставляем её значение в одно из исходных уравнений для вычисления значения второй переменной.

Объяснение для (а):

Мы сложили оба уравнения, так как коэффициенты при \(y\) в них равны по модулю и противоположны: \(11y\) и \(-11y\). В результате переменная \(y\) исчезла и получилось линейное уравнение:

\( 12x=24\), откуда \( x=2. \)

Затем подставили найденное значение \(x\) во второе уравнение для нахождения \(y\).

Объяснение для (б):

Мы сложили оба уравнения, так как коэффициенты при \(x\) в них равны по модулю и противоположны: \(8x\) и \(-8x\). В результате переменная \(x\) исчезла и получилось линейное уравнение

\(-2y=8\), откуда \(y=-4\).

Затем подставили найденное значение \(y\) во второе уравнение для нахождения \(x\).

Объяснение для (в):

Левую и правую части второго уравнения системы умножили на \(-1\), тем самым получили противоположные коэффициенты перед переменной \(x\). Затем сложили оба уравнения, так как коэффициенты при \(x\) в них равны по модулю и противоположны: \(4x\) и \(-4x\). В результате переменная \(x\) исчезла и получилось линейное уравнение

\(-2y=-60\), откуда \(y=30\).

Затем подставили найденное значение \(y\) во второе уравнение для нахождения \(x\).

Объяснение для (г):

Левую и правую части второго уравнения системы умножили на \(-1\), тем самым получили противоположные коэффициенты перед переменной \(y\). Затем сложили оба уравнения, так как коэффициенты при \(y\) в них равны по модулю и противоположны: \(-8y\) и \(8y\). В результате переменная \(y\) исчезла и получилось линейное уравнение

 \(2x=4\), откуда \(x=2\).

Затем подставили найденное значение \(x\) во второе уравнение для нахождения \(y\).