Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№1073 учебника 2023-2025 (стр. 212):
Является ли пара чисел \(u = 3\), \(v = -1\) решением системы уравнений:
а) \( \begin{cases} 3u + v = 8, \\ 7u - 2v = 23; \end{cases}\)
б) \(\begin{cases} v + 2u = 5, \\ u + 2v = 1? \end{cases} \)
№1073 учебника 2013-2022 (стр. 214):
Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графиков уравнений:
а) \(7x + 4y = 23\) и \(8x - 10y = 19\);
б) \(11x - 6y = 2\) и \(-8x + 5y = 3\).
№1073 учебника 2023-2025 (стр. 212):
№1073 учебника 2013-2022 (стр. 214):
Вспомните:
№1073 учебника 2023-2025 (стр. 212):
а) \( \begin{cases} 3u + v = 8, \\ 7u - 2v = 23; \end{cases}\)
\(u = 3\), \(v = -1:\)
\( \begin{cases} 3 \cdot 3 + (-1) = 8,\\ 7 \cdot 3 - 2 \cdot (-1) = 23; \end{cases}\)
\( \begin{cases} 9 + (-1) = 8,\\ 21 +2 = 23; \end{cases}\)
\( \begin{cases} 8= 8,\\ 23 = 23. \end{cases}\)
Пара является решением системы.
б) \(\begin{cases} v + 2u = 5, \\ u + 2v = 1; \end{cases} \)
\(u = 3\), \(v = -1:\)
\(\begin{cases} -1 + 2 \cdot 3 = 5, \\ 3 + 2 \cdot (-1) = 1; \end{cases} \)
\(\begin{cases} -1 +6 = 5, \\ 3 -2 = 1; \end{cases} \)
\(\begin{cases} 5 = 5, \\ 1 = 1. \end{cases} \)
Пара является решением и этой системы.
Ответ: а) Да; б) Да.
Пояснения:
Чтобы проверить, является ли пара значений переменных решением системы, подставляем их в каждое уравнение и проверяем, превращаются ли они в верные равенства. В данном случае и в системе а), и в системе б) оба уравнения выполняются.
№1073 учебника 2013-2022 (стр. 214):
а) \( \begin{cases} 7x + 4y = 23,\\ 8x - 10y = 19; \end{cases} \)
\( \begin{cases} 4y = 23 - 7x,\\ 8x - 10y = 19; \end{cases} \)
\( \begin{cases} y = \frac{23 - 7x}{4},\\ 8x - 10\cdot\frac{23 - 7x}{4} = 19; \end{cases} \)
\( 8x - 10\cdot\frac{23 - 7x}{4} = 19 \) / \(\times{4}\)
\( 32x - 10(23 - 7x) = 76\)
\(32x - 230 + 70x = 76\)
\(32x + 70x = 76 + 230\)
\(102x = 306\)
\(x=\frac{306}{102}\)
\(x = 3 \)
\( y = \frac{23 - 7\cdot3}{4} = \frac{23 - 21}{4} = \frac{2}{4} = 0,5. \)
Ответ: \((3; 0,5)\) - координаты точки пересечения графиков.
б) \( \begin{cases} 11x - 6y = 2,\\ -8x + 5y = 3; \end{cases} \)
\( \begin{cases} 11x - 6y = 2,\\ 5y = 3 + 8x; \end{cases} \)
\( \begin{cases} 11x - 6\cdot\frac{3 + 8x}{5} = 2,\\y = \frac{3 + 8x}{5}; \end{cases} \)
\( 11x - 6\cdot\frac{3 + 8x}{5} = 2 \) /\(\times{5}\)
\( 55x - 6(3 + 8x) = 10\)
\(55x - 18 - 48x = 10\)
\(7x = 10 + 18\)
\(7x = 28\)
\(x= \frac{28}{7}\)
\(x = 4 \)
\( y = \frac{3 + 8\cdot4}{5} = \frac{3 + 32}{5} = \frac{35}{5} = 7. \)
Ответ: \((4,7)\) - координаты точки пересечения графиков.
Пояснения:
Чтобы найти координаты точек пересечения графиков без их построения, нужно решить систему, состоящую из этих уравнений. Решение системы - координаты точки пересечения графиков заданных функций.
При решении систем применён метод подстановки:
– Из одного уравнения выражаем одну переменную через другую.
– Подставляем это выражение в другое уравнение, получая уравнение с одной переменной.
– Решаем полученное уравнение, находим значение первой переменной.
– Затем вычисляем вторую переменную, подставляя найденное значение обратно.
Вернуться к содержанию учебника