Упражнение 955 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( 3x^2 + 6xy + 3y^2 = \)

\(=3\bigl(x^2 + 2xy + y^2\bigr) = \)

\(=3(x + y)^2. \)

б) \( -m^2 + 2m - 1 =\)

\(=-\bigl(m^2 - 2m + 1\bigr) = -(m - 1)^2. \)

в) \( -4x - 4 - x^2 = \)

\(=-(x^2 + 4x + 4) =\)

\(=-(x + 2)^2. \)

г) \( 6p^2 + 24q^2 + 24pq = \)

\(=6\bigl(p^2 + 4q^2 + 4pq\bigr) =\)

\(=6\bigl(p^2 + 4pq + 4q^2\bigr) =\)

\(=6(p + 2q)^2. \)

д) \( 45x + 30ax + 5a^2x =\)

\(=5x\bigl(9 + 6a + a^2\bigr) =\)

\(=5x(a^2 + 6a + 9) =\)

\(=5x(a + 3)^2. \)

е) \( 18cx^2 - 24cx + 8c = \)

\(=2c\bigl(9x^2 - 12x + 4\bigr) =\)

\(=2c\bigl((3x)^2 - 2\cdot3x\cdot2 + 2^2\bigr) =\)

\(=2c(3x - 2)^2. \)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

— Вынесение общего множителя за скобки: если у многочлена каждый член содержит общий множитель \(x\), то

\(ax + bx = (a+b)x.\)

— Формула квадрата двучлена:

\(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\) - квадрат суммы;

\(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\) - квадрат разности.

В каждом пункте сначала выделяли наибольший общий множитель (например, \(3\) в пункте а), \(-1\) в пункте б), \(-1\) в пункте в), \(6\) в пункте г), \(5x\) в пункте д), \(2c\) в пункте е)), а затем полученную квадратную форму распознавали как квадрат соответствующего двучлена.

а) \(y = 0{,}24x + 6\)

1) С осью \(Oy\): \(x = 0\).

\( y = 0{,}24 \cdot 0 + 6 = 6. \)

\(\bigl(0,\,6\bigr)\) - точка пересечения с осью \(y\).

2) С осью \(Ox\): \(y = 0\).

\( 0 = 0{,}24x + 6 \)

\(-0{,}24x = 6\)

\(x = \frac{-6}{0{,}24} \)

\(x = -\frac{600}{24}\)

\(x = -25. \)

\(\bigl(-25,\,0\bigr)\) - точка пересечения с осью \(x\).

Ответ: \(\bigl(0,\,6\bigr)\) и \(\bigl(-25,\,0\bigr)\).

б) \(y = -5x - 1{,}8\)

1) С осью \(Oy\): \(x = 0\).

\( y = -5 \cdot 0 - 1{,}8 = -1{,}8. \)

\(\bigl(0,\,-1{,}8\bigr)\) - точка пересечения с осью \(y\).

2) C осью \(Ox\): \(y = 0\).

\( 0 = -5x - 1{,}8\)

\(-5x = 1{,}8\)

\(x = -\frac{1{,}8}{5} \)

\(x =-0{,}36 \)

\(\bigl(-0{,}36,\,0\bigr)\) - точка пересечения с осью \(x\).

Ответ: \(\bigl(0,\,-1{,}8\bigr)\) и \(\bigl(-0{,}36,\,0\bigr)\).

в) \(y = -0{,}6x + 4{,}2\)

1) С осью \(Oy\): при \(x = 0\).

\( y = -0{,}6 \cdot 0 + 4{,}2 = 4{,}2. \)

\(\bigl(0,\,4{,}2\bigr)\) - точка пересечения с осью \(y\).

2) С осью \(Ox\):\(y = 0\).

\( 0 = -0{,}6x + 4{,}2\)

\(-0{,}6x = -4{,}2 \)

\( x = \frac{-4{,}2}{-0{,}6} \)

\( x = \frac{42}{6} \)

\( x = 7. \)

\(\bigl(7,\,0\bigr)\) - точка пересечения с осью \(x\).

Ответ: \(\bigl(0,\,4{,}2\bigr)\) и \(\bigl(7,\,0\bigr)\).

г) \(y = -x - 3{,}8\)

1) С осью \(Oy\): \(x = 0\).

\( y = -0 - 3{,}8 = -3{,}8. \)

\(\bigl(0,\,-3{,}8\bigr)\) - точка пересечения с осью \(y\).

2) С осью \(Ox\): \(y = 0\).

\( 0 = -x - 3{,}8 \)

\( x = -3{,}8 \)

\(\bigl(-3{,}8,\,0\bigr)\) - точка пересечения с осью \(x\).

Ответ: \(\bigl(0,\,-3{,}8\bigr)\) и \(\bigl(-3{,}8,\,0\bigr)\).

Пояснения:

1) Нахождение точки пересечения с осью \(Oy\):

Для этого в уравнение функции подставляем \(x = 0\). Получаем значение \(y\) — это координата точки на оси \(Oy\). Точка имеет вид \((0,\,y).\)

Если \(y = ax + b\), то при \(x = 0\) получим\(y = b\), и точка пересечения с осью \(Oy\) имеет координаты \((0,\,b)\).

2) Нахождение точки пересечения с осью \(Ox\):

Для этого в уравнение функции подставляем \(y = 0\). Решаем получившееся уравнение относительно \(x\). Результат — абсцисса точки. Точка пересечения с осью \(Ox\) имеет вид \((x,\,0)\).

Если \(y = ax + b\), то при \(y = 0\) получим \(ax + b = 0 \) откуда \(x = -\frac{b}{a}\), и точка пересечения с осью \(Ox\) имеет координаты \(\bigl(-\frac{b}{a},\,0\bigr).\)

3) Особенности вычислений с десятичными коэффициентами:

— При делении на десятичное число удобно умножить числитель и знаменатель на 10 или 100, чтобы избавиться от запятой.

— В пункте (а) \(x = -\frac{6}{0{,}24}\) можно представлять как \( -\frac{600}{24} = -25.\)

— В пункте (б) \(x = -\frac{1{,}8}{5} = -0{,}36.\)

4) Итоговые точки пересечения:

а) с осью \(Oy\): \((0,\,6)\),

с осью \(Ox\): \((-25,\,0)\).

б) с осью \(Oy\): \((0,\,-1{,}8)\),

с осью \(Ox\): \((-0{,}36,\,0)\).

в) с осью \(Oy\): \((0,\,4{,}2)\),

с осью \(Ox\): \((7,\,0)\).

г) с осью \(Oy\): \((0,\,-3{,}8)\),

с осью \(Ox\): \((-3{,}8,\,0)\).