Упражнение 959 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( 45b + 6a - 3ab - 90 =\)

\(=(6a - 3ab) + (45b - 90) = \)

\(=3a(2 - b) + 45(b - 2) = \)

\(=3a(2 - b) - 45(2 - b) = \)

\(=(2 - b)(3a - 45) =\)

\(=3\,(2 - b)\,(a - 15). \)

б) \( -5xy - 40y - 15x - 120 =\)

\(=(-5xy - 40y) + (-15x - 120) = \)

\(=-5y(x + 8) - 15(x + 8) =\)

\(=(x + 8)(-5y - 15) = \)

\(=-5\,(x + 8)\,(y + 3). \)

в) \( ac^4 - c^4 + ac^3 - c^3 = \)

\(=(ac^4 - c^4) + (ac^3 - c^3) =\)

\(=c^4(a - 1) + c^3(a - 1) =\)

\(=(a - 1)\bigl(c^4 + c^3\bigr) =\)

\(=c^3(a - 1)\,(c + 1). \)

г) \( x^3 - x^2y + x^2 - xy =\)

\(=(x^3 - x^2y) + (x^2 - xy) =\)

\(=x^2(x - y) + x(x - y) = \)

\(=(x - y)\,(x^2 + x) = \)

\(=x\,(x + 1)\,(x - y). \)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

— Группировка: разбиваем многочлен на две или более групп, в каждой из которых можно вынести общий множитель.

— Вынесение общего множителя за скобки: если у многочлена каждый член содержит общий множитель \(x\), то

\(ax + bx = (a+b)x.\)

— Свойство степени:

\(a^na^m=a^{n+m}.\)

— В пунктах а) и б) использован метод группировки: разбили многочлен на две группы так, чтобы в каждой группе можно было вынести общий множитель. После этого внутри скобок появилось общее подвыражение, которое вынесли в качестве второго множителя.

— В пункте а) из первых двух членов \((6a - 3ab)\) вынесли \(3a\), а из вторых двух \((45b - 90)\) вынесли \(45\). Получив скобки \((2 - b)\) и \((b - 2)\), учли знак при приведении к единому множителю \((2 - b)\).

— В пункте б) из \((-5xy - 40y)\) вынесли \(-5y\), из \((-15x - 120)\) вынесли \(-15\), а затем внутри скобок получили \((x + 8)\). Окончательно вынесли общий множитель \(-5\) для приведения к виду \(-5(x + 8)(y + 3)\).

— В пункте в) сразу заметили общий множитель \((a - 1)\) в \(ac^4 - c^4\) и

\(ac^3 - c^3\), затем внутри скобки \(c^4 + c^3\) вынесли \(c^3\), получив \((c + 1)\).

— В пункте г) сгруппировали члены по \(x\) и \(x^2\): в первом двучлене \((x^3 - x^2y)\) вынесли \(x^2\), во втором \((x^2 - xy)\) вынесли \(x\). Получилась общая скобка \((x - y)\), а оставшиеся множители \(x^2 + x\) вынесли из результата и далее распознали его как \(x(x + 1)\).

а) \(n = 7\)

\( (a + b)^7 = a^7 + 7\,a^6b + 21\,a^5b^2 + 35\,a^4b^3 + 35\,a^3b^4 + 21\,a^2b^5 + 7\,ab^6 + b^7. \)

б) \(n = 8\)

\( (a + b)^8 = a^8 + 8\,a^7b + 28\,a^6b^2 + 56\,a^5b^3 + 70\,a^4b^4 + 56\,a^3b^5 + 28\,a^2b^6 + 8\,ab^7 + b^8. \)

Пояснения:

При записи формулы двучлена \(a + b\) в степени \(n\), первый член получаемого многочлена равен \(a^n\) и \(b^0\). Далее при переходе к каждому последующему члену показатель степени \(a\) уменьшается на 1, а показатель степени \(b\) увеличивается на 1, т.е. сумма показателей степеней в каждом слагаемом равна \(n\).

Для определения коэффициентов получаемого многочлена, используют треугольник Паскаля. В треугольнике Паскаля "боковые стороны" состоят из единиц, а каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, записанных над ним.

Строки треугольника Паскаля определяют коэффициенты многочлена в формуле для данной степени \(n\).