Упражнение 951 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( y^3 - y^5 = y^3\bigl(1 - y^2\bigr) =\)

\(=y^3\,\bigl(1 - y\bigr)\,\bigl(1 + y\bigr). \)

б) \( 2x - 2x^3 = 2x\bigl(1 - x^2\bigr) =\)

\(=2x\,\bigl(1 - x\bigr)\,\bigl(1 + x\bigr). \)

в) \( 81x^2 - x^4 = x^2\bigl(81 - x^2\bigr) =\)

\(=x^2\,\bigl(9 - x\bigr)\,\bigl(9 + x\bigr). \)

г) \( 4y^3 - 100y^5 = 4y^3\bigl(1 - 25y^2\bigr) =\)

\(=4y^3\bigl(1 - (5y)^2\bigr) =\)

\(=4y^3\,\bigl(1 - 5y\bigr)\,\bigl(1 + 5y\bigr). \)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

— Вынесение общего множителя за скобки:

\(ax+bx=(a+b)x\).

— Формула разности квадратов:

\(a^2 - b^2= (a - b)(a + b).\)

— Свойства степени:

\(a^ma^n=a^{m+n}\);

\((ab)^n = a^nb^n.\)

В каждом пункте сначала выделен наибольший общий множитель (например, \(y^3\) в пункте а), \(2x\) в пункте б), \(x^2\) в пункте в), \(4y^3\) в пункте г)). После этого внутри скобок получалась разность квадратов (например, \(1 - y^2\), \(1 - x^2\), \(81 - x^2\), \(1 - 25y^2\)), которую разложили по формуле на множители.

1) \( x^3 - x = x(x^2 - 1)= \)

\(=x(x - 1)(x + 1)\) — три последовательных целых числа, один из которых делится на 2, а один на 3. Поэтому значение многочлена \( x^3 - x\) делится на \(6\).

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

— Вынесение общего множителя: Если у членов многочлена есть общий множитель, то его можно вынести за скобки. Здесь из \(x^3 - x\) вынесли \(x\), получив \(x(x^2 - 1)\).

— Формула разности квадратов: \(\displaystyle a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).

Применили для

\(x^2 - 1 = x^2 - 1^2 = (x - 1)(x + 1)\).

— Признак делимости на 2 и 3 для трёх последовательных чисел: Среди любых трёх последовательных целых чисел обязательно найдётся хотя бы одно чётное (делится на 2) и хотя бы одно, делящееся на 3. Поэтому \[ x(x - 1)(x + 1) \] делится и на 2, и на 3, а значит, на их произведение — на 6.

Таким образом, для любого целого \(x\) значение \(x^3 - x\) кратно 6.