Упражнение 960 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( x^2 - 2xc + c^2 - d^2 =\)

\( (x^2 - 2xc + c^2) - d^2 =\)

\(=(x - c)^2 - d^2 =\)

\(=\bigl((x - c) - d\bigr)\,\bigl((x - c) + d\bigr) =\)

\(=(x - c - d)\,(x - c + d). \)

б) \( c^2 + 2c + 1 - a^2 = \)

\(= (c^2 + 2c + 1) - a^2 = \)

\(=(c + 1)^2 - a^2 =\)

\(=\bigl((c + 1) - a\bigr)\,\bigl((c + 1) + a\bigr) =\)

\(=(c + 1 - a)\,(c + 1 + a). \)

в) \( p^2 - x^2 + 6x - 9 =\)

\(=p^2 - \bigl(x^2 - 6x + 9\bigr)= \)

 \(= p^2 - (x - 3)^2 =\)

\(=\bigl(p - (x - 3)\bigr)\,\bigl(p + (x - 3)\bigr) =\)

\(=(p - x + 3)\,(p + x - 3). \)

г) \( x^2 - a^2 - 10a - 25 =\)

\(=x^2 - (a^2 + 10a + 25) =\)

\(=x^2 - (a + 5)^2 =\)

\(=\bigl(x - (a + 5)\bigr)\,\bigl(x + (a + 5)\bigr) =\)

\(=(x - a - 5)\,(x + a + 5). \)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

— Формула квадрата двучлена:

\(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\) - квадрат суммы;

\(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\) - квадрат разности.

— Формула разности квадратов:

\( a^2 - b^2 = (a - b)\,(a + b). \)

— Перегруппировка: перестановка и сборка слагаемых так, чтобы внутри скобок образовался полный квадрат или явная разность квадратов. Это упрощает дальнейшее разложение.

— Раскрытие скобок: если перед скобками стоит знак "минус", то при их раскрытии знаки всех слагаемых нужно поменять на противоположные:

\(-(a+b)=-a-b\).

В каждом пункте мы сначала искали внутри выражения части, представляющие полный квадрат, а затем применяли формулу разности квадратов для окончательного разложения на множители.

а) \( (a^2 + 2b)^4 = (a^2)^4 + 4\,(a^2)^3 \cdot (2b) + 6\,(a^2)^2 \cdot (2b)^2 + 4\,(a^2)\cdot (2b)^3 + (2b)^4=\)

\(= a^8+8\,a^6b+24\,a^4b^2+32\,a^2b^3+16\,b^4. \)

б) \( (a^3 - b)^4 = (a^3)^4 - 4\,(a^3)^3 \cdot b + 6\,(a^3)^2 \cdot b^2 - 4\,(a^3)\cdot b^3 + b^4= \)

\(= a^{12}-4\,a^9b+6\,a^6b^2-4\,a^3b^3+b^4. \)

Пояснения:

При записи формулы двучлена \(a + b\) в степени \(n\), первый член получаемого многочлена равен \(a^n\) и \(b^0\). Далее при переходе к каждому последующему члену показатель степени \(a\) уменьшается на 1, а показатель степени \(b\) увеличивается на 1, т.е. сумма показателей степеней в каждом слагаемом равна \(n\).

Для определения коэффициентов получаемого многочлена, используют треугольник Паскаля. В треугольнике Паскаля "боковые стороны" состоят из единиц, а каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, записанных над ним.

Строки треугольника Паскаля определяют коэффициенты многочлена в формуле для данной степени \(n\).

Свойства степени:

\((ab)^n=a^nb^n;\)

\((a^m)^n=a^{mn}\).