Упражнение 954 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( p^4 - 16 = p^4 - 4^2 =\)

\((p^2)^2 - 4^2=\)

\(=(p^2 - 4)(p^2 + 4) =\)

\(=(p - 2)(p + 2)(p^2 + 4). \)

б) \( x^4 - 81 = x^4 - 9^2 =\)

\(= (x^2)^2 - 9^2 =\)

\(=(x^2 - 9)(x^2 + 9) =\)

\(=(x - 3)(x + 3)(x^2 + 9). \)

в) \( y^8 - 1 = (y^4)^2 - 1^2 = \)

\(=(y^4 - 1)(y^4 + 1)=\)

\(= ((y^2)^2 - 1^2)(y^4 + 1)=\)

\(=(y^2 - 1)(y^2 + 1) (y^4 + 1)=\)

\(=(y - 1)(y + 1)(y^2 + 1)(y^4 + 1)\).

г) \( a^4 - b^8 = (a^2)^2 - (b^4)^2 =\)

\(=(a^2 - b^4)(a^2 + b^4)= \)

\(= a^2 - (b^2)^2(a^2 + b^4) =\)

\(=(a - b^2)(a + b^2)(a^2 + b^4) \).

Пояснения:

— Использована формула разности квадратов:

\(a^2 - b^2= (a - b)(a + b).\)

Свойство степени:

\((a^m)^n = a^{m\cdot{n}}\).

— Многократное разложение: после первого применения формулы разности квадратов получаются новые разности квадратов, которые снова раскладываются по той же формуле.

Пояснение к пункту а):

Трёхчлен \(p^4 - 16\) является разностью двух квадратов: \(p^4 - 2^4\). Сначала раскладываем как \((p^2 - 4)(p^2 + 4)\), затем внутри \(p^2 - 4\) снова видим разность квадратов:

\(p^2 - 2^2 = (p-2)(p+2)\).

Пояснение к пункту б):

Аналогично:

\(x^4 - 81 = x^4 - 3^4 = (x^2 - 9)(x^2 + 9)\),

и далее \(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\). Многочлен \(x^2 + 9\) дальше не раскладывается над действительными числами.

Пояснение к пункту в):

Сначала заметим:

\(y^8 - 1 = (y^4)^2 - 1^2 = (y^4 - 1)(y^4 + 1)\).

В скобке \(y^4 - 1\) снова разность квадратов:

\((y^2)^2 - 1^2 = (y^2 - 1)(y^2 + 1)\).

И в свою очередь

\(y^2 - 1 = (y-1)(y+1)\).

В результате получаем

\((y - 1)(y + 1)(y^2 + 1)(y^4 + 1)\).

Пояснение к пункту г):

\(a^4 - b^8 = (a^2)^2 - (b^4)^2 = (a^2 - b^4)(a^2 + b^4)\).

Дальше \(a^2 - b^4 = (a)^2 - (b^2)^2 = (a - b^2)(a + b^2)\).

Таким образом итоговое разложение:

\((a - b^2)(a + b^2)(a^2 + b^4)\).

а) \( (6x - 1)(6x + 1) - (12x - 5)(3x + 1)= \)

\(=36x^2 - 1 - (36x^2 + 12x - 15x - 5) =\)

\(= \cancel{36x^2} - 1 - \cancel{36x^2} - 12x + 15x + 5 = \)

\(=3x + 4. \)

Если \(x = 0{,}2\), то:

\(3 \cdot 0{,}2 + 4 = 0{,}6 + 4 = 4{,}6. \)

б) \(\;(5 + 2x)^2-2{,}5x(8x + 7)=\)

\(=25 + 20x + 4x^2 - 20x^2 - 17{,}5x= \)

\(= -16x^2 + 2{,}5x + 25.\)

Если \(x = -0{,}5\), то:

\( -16 \cdot ( -0{,}5)^2 + 2{,}5 \cdot ( -0{,}5 ) + 25 =\)

\(=-16 \cdot 0{,}25 - 1{,}25 + 25 = \)

\(=-4 - 1{,}25 + 25 = 19{,}75. \)

Пояснения:

1) Формула разности квадратов:

\( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2. \)

В пункте (а) применили к \((6x - 1)(6x + 1)\).

2) Умножение многочлена на многочлен:

\((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\).

Использовали при умножении

\((12x - 5)(3x + 1)\).

3) Квадрат суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.\)

Использовали при вычислении

\((5 + 2x)^2\).

4) Свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n\).

5) Умножение одночлена на многочлен:

\(a(b+c) = ab + ac\).

Использовали при вычислении:

\(2{,}5x(8x + 7)\).

6) Приведение подобных членов:

После раскрытия скобок складываем или вычитаем члены с одинаковыми степенями переменной. Например, в (а) после раскрытия получилось

\(36x^2 - 1 - (36x^2 - 3x - 5)\),

где \(36x^2\) сократились.

7) Вычитание многочленов:

При вычислении разности каждый член вычитаемого многочлена меняет знак. В пункте (а) после раскрытия скобок получили

\((36x^2 - 1) - (36x^2 - 3x - 5) = \)

\(=36x^2 - 1 - 36x^2 + 3x + 5.\)

8) Подстановка значения переменной:

После полного упрощения многочлена подставляем \(x = 0{,}2\) в результат пункт (а) и \(x = -0{,}5\) в результат пункт (б), вычисляем по порядку:

— сначала возведение в квадрат,

— затем умножение на коэффициенты,

— затем сложение/вычитание.