Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№946 учебника 2023-2025 (стр. 187):
Представьте данный трёхчлен, если это возможно, в виде квадрата двучлена или в виде выражения, противоположного квадрату двучлена:
а) \(25y^2 - 15ay + 9a^2;\)
б) \(15ab - 9a^2 - 6\frac{1}{4}b^2;\)
в) \(4b^2 + 0{,}25c^2 - 2bc;\)
г) \(0{,}36a^2 + 0{,}04y^2 - 0{,}24ay.\)
№946 учебника 2013-2022 (стр. 188):
Разложите на множители:
а) \(x^2 - y^2 - x - y;\)
б) \(a^2 - b^2 - a + b;\)
в) \(m + n + m^2 - n^2;\)
г) \(k^2 - k - p^2 - p.\)
№946 учебника 2023-2025 (стр. 187):
Вспомните:
№946 учебника 2013-2022 (стр. 188):
Вспомните:
№946 учебника 2023-2025 (стр. 187):
а) \(25y^2 - 15ay + 9a^2=\)
\(=(5y^2 - 15ay + (3a)^2\) - нельзя представить в виде квадрата двучлена, так как \(2\cdot5y\cdot3a = 30ay\).
б) \(15ab - 9a^2 - 6\frac{1}{4}b^2=\)
\(= -9a^2 + 15ab - \tfrac{25}{4}b^2=\)
\(= -(9a^2 - 15ab -+\tfrac{25}{4}b^2)=\)
\(=-(9a^2 - 2\cdot3a\cdot\tfrac{5}{2}b + \tfrac{25}{4}b^2)=\)
\(= -(3a - \tfrac{5}{2}b)^2.\)
в) \(4b^2 + 0{,}25c^2 - 2bc=\)
\(=4b^2 - 2bc + 0{,}25c^2=\)
\(=(2b)^2 - 2\cdot2b\cdot\bigl(0{,}5c\bigr) + (0{,}5c)^2 =\)
\(=\bigl(2b - 0{,}5c\bigr)^2. \)
г) \(0{,}36a^2 + 0{,}04y^2 - 0{,}24ay=\)
\(=0{,}36a^2 - 0{,}24ay + 0{,}04y^2 =\)
\(= (0{,}6a)^2 - 2\cdot0{,}6a\cdot0{,}2y + (0{,}2y)^2 =\)
\(=\bigl(0{,}6a - 0{,}2y\bigr)^2. \)
Пояснения:
Использованные правила и приёмы:
Использованные правила и формулы:
1) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.
2) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений.
3) Противоположные выражения:
\(-a-b = -(a + b)\).
4) Свойство степени:
\((a^m)^n=a^{m\cdot{n}}.\)
Пояснение к пункту а): средний член не совпал с удвоенным произведением крайних членов, значит, представление в виде квадрата двучлена невозможно.
В пункте б):поменяли слагаемые местами, вынесли знак минус за скобку, в скобках записали противоположное выражение, у которого средний член совпал с удвоенным произведением крайних членов, значит, исходный трёхчлен можно представить в виде квадрата двучлена.
В пункте в) и г) слагаемые поменяли местами и средний член совпал с удвоенным произведением крайних членов, значит, представление в виде квадрата двучлена невозможно.
№946 учебника 2013-2022 (стр. 188):
а) \( x^2 - y^2 - x - y =\)
\(=\bigl(x^2 - y^2\bigr) - (x + y) =\)
\(=(x - y)(x + y) - 1\cdot(x + y) =\)
\(=(x + y)\bigl((x - y) - 1\bigr) =\)
\(=(x + y)(x - y - 1). \)
б) \( a^2 - b^2 - a + b =\)
\(=\bigl(a^2 - b^2\bigr) - (a - b) =\)
\(=(a - b)(a + b) - 1\cdot(a - b) =\)
\(=(a - b)\bigl((a + b) - 1\bigr) =\)
\(=(a - b)(a + b - 1). \)
в) \( m + n + m^2 - n^2 =\)
\(=\bigl(m^2 - n^2\bigr) + (m + n) = \)
\(=(m - n)(m + n) + 1\cdot(m + n) =\)
\(=(m + n)\bigl((m - n) + 1\bigr) =\)
\(=(m + n)(m - n + 1). \)
г) \( k^2 - k - p^2 - p =\)
\(=\bigl(k^2 - p^2\bigr) - (k + p) =\)
\(=(k - p)(k + p) - 1\cdot(k + p) =\)
\(=(k + p)\bigl((k - p) - 1\bigr) =\)
\(=(k + p)(k - p - 1). \)
Пояснения:
Использованные правила и приёмы:
— Группировка: разбиваем многочлен на сумму (или разность) двух выражений, каждое из которых содержит общий множитель.
— Вынесение общего множителя: если в каждом из членов группы есть одинаковый множитель \(x\), то
\(ax +bx = (a + b)x\).
— Формула разности квадратов::
\( a^2 - b^2 = (a - b)\,(a + b). \)
Применяется в тех случаях, где внутри выражения виден квадрат разности двух переменных.
— После группировки и вынесения общего множителя внутри скобок образуется выражение, которое уже и служит вторым множителем.
В каждом пункте мы сначала сгруппировали члены так, чтобы получить разность квадратов (например, \(x^2 - y^2\), \(a^2 - b^2\) и т. п.) и отдельно линейное выражение. Затем вынесли общий множитель из двух частей, после чего внутри скобок оказалась либо разность квадратов, либо уже готовая линейная комбинация. В итоге получили произведение двух множителей в каждом случае.
Вернуться к содержанию учебника