Упражнение 947 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( -20x^4y^2 - 35x^3y^3 =\)

\(=-5x^3y^2\bigl(4x + 7y\bigr). \)

б) \( 3a^3b^2c + 9ab^2c^3 =\)

\(=3ab^2c\bigl(a^2 + 3c^2\bigr). \)

в) \( -1{,}2a^3b + 1{,}2b^4 = \)

\(=1{,}2b\,\bigl(-a^3 + b^3\bigr) =\)

\(=1{,}2b\,\bigl(b^3 - a^3\bigr)= \)

\(= 1{,}2b\,(b - a)\bigl(b^2 + ab + a^2\bigr). \)

г) \( 7{,}2x^4y^4 - 1{,}8x^4y^2 =\)

\(=1{,}8x^4y^2\,\bigl(4y^2 - 1\bigr)= \)

\(= 1{,}8x^4y^2\,(2y - 1)(2y + 1). \)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

— Вынесение общего множителя за скобки:

\(ab + ac = a(b + c).\)

— Разложение разности кубов:

\( b^3 - a^3 = (b - a)(b^2 + ab + a^2). \)

— Разложение разности квадратов:

\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \).

— Свойство степени:

\(a^ma^n=a^{m+n}\).

В каждом пункте определили наибольший общий множитель, вынесли его за скобки, а затем, если оставшийся трехчлен был разностью кубов (пункт в) или квадратов (пункт г), раскладывали его по соответствующим формулам.

а) \( a - b + a^2 - b^2 = \)

\(=(a - b) + (a^2 - b^2) = \)

\(=1\cdot(a - b) + (a - b)(a + b) =\)

\(=(a - b)\Bigl(1 + (a + b)\Bigr) =\)

\(=(a - b)(1 + a + b). \)

б) \( c^2 + d - d^2 + c =\)

\(=(c^2 - d^2) + (c + d)= \)

\( = (c - d)(c + d) + 1\cdot(c + d) =\)

\(=(c + d)\Bigl((c - d) + 1\Bigr) =\)

\(=(c + d)(c - d + 1). \)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

— Перегруппировка: перестановка и сборка слагаемых для выделения удобных комбинаций (например, разности квадратов).

— Формула разности квадратов:

\( a^2 - b^2 = (a - b)\,(a + b). \)

— Вынесение общего множителя: после применения формулы разности квадратов обе части содержали общий множитель, который был вынесен за скобки.

Пояснение к пункту а):

В исходном многочлене

\(a - b + a^2 - b^2\)

выполнили группировку

\((a - b) + (a^2 - b^2)\).

Сначала применили разность квадратов к \(a^2 - b^2\), получив

\((a - b)(a + b)\). Затем заметили, что слагаемое \((a - b)\) можно записать как \(1\cdot(a - b)\). В результате внутри суммы получилось

\(1\cdot(a - b) + (a - b)(a + b) =\)

\(=(a - b)\bigl(1 + (a + b)\bigr)\).

То есть окончательный вид:

\((a - b)(1 + a + b)\).

Пояснение к пункту б):

Выражение \(c^2 + d - d^2 + c\) перегруппировали в

\((c^2 - d^2) + (c + d)\).

Сначала разложили по разности квадратов \(c^2 - d^2 = (c - d)(c + d)\). Оставшуюся часть \((c + d)\) записали как \(1\cdot(c + d)\). В итоге получился множитель \((c + d)\) общий для обоих слагаемых:

\((c - d)(c + d) + 1\cdot(c + d) =\)

\(=(c + d)\bigl((c - d) + 1\bigr)\).

Следовательно, окончательный вид:

\((c + d)(c - d + 1)\).