Упражнение 942 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x^2(x+2) - x(x+1)^2 = 5x + 9\)

\(x^3 + 2x^2 - x(x^2+2x+1) = 5x+9\)

\(\cancel{x^3} + \cancel{2x^2} - \cancel{x^3} - \cancel{2x^2} - x = 5x+9\)

\( -x = 5x + 9\)

\( -x - 5x = 9\)

\( -6x = 9 \)

\(x = -\tfrac{9}{6}\)

\(x = -\tfrac{3}{2}\)

\(x = -1,5\)

Ответ: \(x = -1,5\).

б) \((y-3)^2 + 3(y+2)(y-2) = 9 + 4y^2.\)

\( y^2 - 6y + 9+ 3(y^2 - 4) =9 + 4y^2 \)

\( y^2 - 6y + 9 + 3y^2 - 12 =9 + 4y^2 \)

\( \cancel{y^2} - 6y + \cancel{3y^2} - \cancel{4y^2} =9 - 9 + 12 \)

\( -6y = 12\)

\(y=-\frac{12}{6}\)

\(y = -2\)

Ответ: \(y = -2\).

Пояснения:

Использованные правила и формулы:

1) \( a^2 - b^2=(a - b)(a + b) \) - разность квадратов двух выражений.

2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

3) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений.

4) Умножение одночлена на многочлен:

\(a(b + c) = ab + ac\).

5) Корни уравнения не изменяются, если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую.

6) Приведение подобных слагаемых:

\(ax + bx = (a + b)x\).

7) Линейное уравнение вида \(ax=b\) при \(a\neq0\) имеет единственный корень: \(x=\frac{b}{a}\).

В пункте а) мы раскрыли все скобки, привели подобные члены и получили линейное уравнение \( -6x = 9 \), откуда \(x = -1,5\).

В пункте б) раскрыли все скобки, привели подобные члены и получили линейное уравнение \( -6y = 12\), откуда \(y = -2\).

а) \( 4xy + 12y - 4x - 12 =\)

\(=(4xy + 12y) - (4x + 12)=\)

\(= 4y(x + 3) - 4(x + 3) = \)

\(=\bigl(4y - 4\bigr)(x + 3) = \)

\(=4(y - 1)(x + 3). \)

б) \( 60 + 6ab - 30b - 12a =\)

\(=6\bigl(10 + ab - 5b - 2a\bigr)=\)

\( = 6\bigl((ab - 2a) - (5b + 10)\bigr) =\)

\(=6(a(b - 2) - 5(b - 2)) =\)

\(=6(a - 5)(b - 2). \)

в) \( -abc - 5ac - 4ab - 20a =\)

\(=-a\bigl(bc + 5c + 4b + 20\bigr)= \)

\(=-a((bc + 5c) + (4b + 20)) =\)

\(=-a(c(b + 5) + 4(b + 5)) = \)

\(=-a(c + 4)(b + 5) \)

г) \( a^3 + a^2b + a^2 + ab = \)

\(=(a^3 + a^2b) + (a^2 + ab)= \)

\(= a^2(a + b) + a(a + b) =\)

\(=\bigl(a^2 + a\bigr)\,(a + b) =\)

\(=a(a + 1)(a + b). \)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

— Группировка: разбиваем многочлен на две или более групп, в каждой из которых можно вынести общий множитель.

— Вынесение общего множителя за скобки: если у многочлена каждый член содержит общий множитель \(x\), то

\(ax + bx = (a+b)x.\)

— В пункте (а) после группировки и вынесения \(4y\) и \(4\) получилась общая скобка \((x + 3)\), а множитель \(4(y - 1)\) вынесен отдельно.

— В пункте (б) сначала вынесли \(6\), затем внутри сгруппировали по одинаковому множителю \((b - 2)\) после приведения по \(a\) и числу.

— В пункте (в) вынесли \(-a\), затем заметили, что внутри скобок два выражения имеют общий множитель \((b + 5)\) после группировки по \(c\) и \(4\).

— В пункте (г) сначала сгруппировали по \(a^2\) и \(a\), затем вынесли \(a^2\) и \(a\), в итоге оказалась скобка \((a + b)\), а множитель \(a(a + 1)\) вынесен отдельно.