Упражнение 948 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

1) Составим уравнение:

\( 15x = 10(x + 1). \)

\( 15x = 10x + 10 \)

\(15x - 10x = 10\)

\(5x = 10\)

\(x=\frac{10}{2}\)

\( x = 2 \) (x) - время на путь от деревни до станции.

2) \( 15 \cdot 2 = 30\) (км).

Ответ: расстояние от деревни до станции 30 км.

Пояснения:

1) Введено обозначение: \(x\) — время движения от деревни до станции в часах.

2) Формула движения:

\(\text{расстояние} = \text{скорость} \times \text{время}\).

От деревни до станции расстояние, равное \(15x\).

3) Условие «обратный путь занял на \(1\) ч больше» означает, что время возвращения равно \(x + 1\). За это время при скорости \(10\) км/ч он проехал то же расстояние \(10(x + 1)\).

4) Приравниваем два выражения для одного и того же расстояния, получаем уравнение \(15x = 10(x + 1)\). Раскрываем скобки и приводим подобные члены, получая линейное уравнение \(5x = 10\), откуда \(x = 2\) (ч).

5) Подставляем \(x = 2\) в выражение \( 15x\) и получаем \(30\) км. Это и есть искомое расстояние, оно не зависит от каких-либо других величин, кроме заданных скоростей и разницы во времени.

\( 3{,}5x^3 \;-\; 2{,}1x^2 \;+\; 1{,}9x \;-\; 16{,}7 \)

при \(x = 3{,}7\).

1) 1 способ:

1) \( 3,5x^3 = 3,5\cdot 3{,}7^3 = \)

\(=3,5\cdot (3{,}7 \cdot 3{,}7\cdot 3{,}7) = \)

\(=3,5\cdot 50{,}653 = 177{,}2855; \)

2) \(2,1x^2 = 2,1\cdot3{,}7^2 = \)

\(=2,1\cdot(3{,}7\cdot3{,}7)=\)

\(=2,1\cdot13{,}69= 28{,}749; \)

3) \( 1{,}9x = 1{,}9 \cdot 3{,}7 = 7{,}03; \)

4) \(177,2855-28,749+7,03-16,7= \)

\(= 148{,}5365 + 7{,}03 \;-\; 16{,}7 =\)

\(=155{,}5665 - 16{,}7 = 138{,}8665. \)

2 способ:

\(3{,}5x^3 - 2{,}1x^2 + 1{,}9x - 16{,}7 =\)

\(=\bigl(\,(3{,}5x - 2{,}1)\,x + 1{,}9\bigr)\,x - 16{,}7. \)

1) \(3{,}5 \cdot 3{,}7 − 2{,}1 = 12{,}95 − 2{,}1 =\)

\(=10{,}85;\)

2) \(10{,}85 \cdot 3{,}7 = 40{,}145;\)

3) \(40{,}145 + 1{,}9 = 42{,}045;\)

4) \(42{,}045 \cdot 3{,}7 = 155{,}5665;\)

5) \(155{,}5665 − 16{,}7 = 138{,}8665.\)

Ответ: \(138{,}8665\).

Пояснения:

1) 1 способ (прямой расчёт каждого члена):

— Сначала отдельно вычисляем \(x^3\) и \(x^2\) при \(x = 3{,}7\), затем умножаем на соответствующие коэффициенты \(3{,}5\) и \(2{,}1\).

— После этого вычисляем \(1{,}9x\) и вычитаем \(16{,}7\).

— Наконец, складываем или вычитаем все полученные числа, получаем итоговую сумму.

— Требует четырёх операций возведения в степень, четырёх умножений и трёх сложений/вычитаний до получения суммы.

2) 2 способ (с помощью преобразований):

— Преобразовали многочлен:

\(\bigl(\,(3{,}5x - 2{,}1)\,x + 1{,}9\bigr)\,x - 16{,}7\), чтобы при вычислении каждый результат сразу умножать на \(x\) и добавлять следующий коэффициент.

— При \(x = 3{,}7\) последовательно:

1) вычислили \(3{,}5 \cdot x\);

2) вычли \(2{,}1\);

3) умножили на \(x\);

4) сложили с \(1{,}9\);

5) умножили на \(x\);

6) вычли \(16{,}7\).

— Получили тот же результат \(138{,}8665\).

— Данный способ позволяет сократить количество операций: вместо нескольких возведений в степень и отдельных умножений достаточно шести простых операций умножения и сложения.

3) Сравнение способов:

2 способ экономит время вычислений на калькуляторе, так как сокращает число операций. Результат одинаков — \(138{,}8665\), но 2 способ обычно быстрее (меньше нажатий клавиш при работе с калькулятором).