Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№882 учебника 2023-2025 (стр. 177):
Найдите наибольшее или наименьшее значение выражения, если такое значение существует:
а) \((5a - 0{,}2)(0{,}2 + 5a)\);
б) \((12 - 7y)(7y + 12)\);
в) \((13a - 0{,}3)(0{,}3 + 13a)\);
г) \((10 - 9m)(9m + 10)\).
№882 учебника 2013-2022 (стр. 177):
Со станций M и N, расстояние между которыми 380 км, одновременно навстречу друг другу вышли два поезда. Скорость поезда, отправившегося со станции N, была больше скорости другого поезда на 5 км/ч. Через 2 ч после отправления поездам оставалось пройти до встречи 30 км. Найдите скорости поездов.
№882 учебника 2023-2025 (стр. 177):
Вспомните:
№882 учебника 2013-2022 (стр. 177):
Вспомните:
№882 учебника 2023-2025 (стр. 177):
а) \((5a - 0{,}2)(0{,}2 + 5a) =\)
\(=25a^2 - 0{,}04.\)
Наименьшее значение \(-0{,}04\)
при \(a=0\).
б) \((12 - 7y)(7y + 12) =\)
\(=144 - 49y^2.\)
Наибольшее значение \(144\) при \(y=0\).
в) \((13a - 0{,}3)(0{,}3 + 13a) =\)
\(=169a^2 - 0{,}09.\)
Наименьшее значение \(-0{,}09\)
при \(a=0\).
г) \((10 - 9m)(9m + 10) =\)
\(=100 - 81m^2.\)
Наибольшее значение \(100\) при \(m=0\).
Пояснения:
Использованная формула:
\( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \) - произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.
При выполнении преобразований, использовали свойство степени:
\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)
Каждое выражение сведено к разности квадратов двух выражений. Полученные функции имеют вид \(c - d x^2\) или \(d x^2 - c\). Поскольку \(x^2\ge0\), максимальное значение выражения вида \(c - d x^2\) достигается при \(x=0\), а минимальное значение выражения вида \(d x^2 - c\) тоже при \(x=0\).
№882 учебника 2013-2022 (стр. 177):
Обозначим скорость поезда из M через \(x\) (км/ч), тогда скорость поезда из N равна \(x + 5\) (км/ч). Тогда за 2 ч поезд из М проедет \(2x\) (км), а скорость из N - \(5(x + 5)\) (км). Известно, что поездам оставалось пройти до встречи 30 км.
1) Составим уравнение:
\(2x + 2(x+5) + 30 = 380\)
\(2x + 2x + 10 + 30 = 380\)
\(4x = 380 - 10 - 30\)
\(4x = 340\)
\(x = \frac{340}{4}\)
\(x = 85\) (км/ч) - скорость поезда из М.
| - | 3 | 4 | 0 | 4 | ||||||||||
| 3 | 2 | 8 | 5 | |||||||||||
| - | 2 | 0 | ||||||||||||
| 2 | 0 | |||||||||||||
| 0 |
2) \(85 + 5 = 90\) (км/ч) - скорость поезда из N.
Ответ: 85 км/ч и 90 км/ч.
Пояснения:
Использованные обозначения и формулы:
— Пусть \(x\) — скорость поезда из M, тогда второй едет со скоростью \(x+5\).
— Формула пройденного пути: \(s = vt\), где \(v\) - скорость, а \(t\) - время.
— Общее пройденное расстояние за время \(t\): равно сумме расстояний, пройденных поездами.
Пояснение шагов:
1. Обозначили скорости через переменную \(x\) для удобства составления уравнения.
2. Составили выражения для расстояния, пройденного каждым поездом: (2x\) и \(5(x + 5)\).
3. Записали уравнение, учитывая то, сколько поезда уже проехали навстречу друг другу за 2 ч и то, сколько между ними осталось, а расстояние между городами 380 км:
\(2x + 2(x+5) + 30 = 380\)
4. Раскрыли скобки, привели подобные члены и решили линейное уравнение.
5. Получили \(x = 85\) км/ч — скорость поезда из M, а скорость поезда из N равна \(85 + 5 = 90\) км/ч.
Вернуться к содержанию учебника