Упражнение 834 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 170

а) \((x - 10)^2 - x(x + 80) =\)

\(=\cancel{x^2} - 20x + 100 - \cancel{x^2} - 80x=\)

\(= -100x + 100\).

При \(x = 0,97\):

\(-100 \cdot 0,97 + 100 =\)

\(=-97 + 100 = 3\).

б) \((2x + 9)^2 - x(4x + 31) =\)

\(=\cancel{4x^2} + 36x + 81 - \cancel{4x^2} - 31x=\)

\(= 5x + 81\).

При \(x = -16,2\):

\(5 \cdot (-16,2) + 81 = -81 + 81 = 0\).

в) \((2x + 0,5)^2 - (2x - 0,5)^2 =\)

\(=4x^2 + 2x + 0,25 - (4x^2 - 2x + 0,25)=\)

\(= \cancel{4x^2} + 2x + \cancel{0,25} - \cancel{4x^2} + 2x - \cancel{0,25}=\)

\(= 4x\).

При \(x = -3,5\):

\(4 \cdot (-3,5) = -14\)

г) \((0,1x - 8)^2 + (0,1x + 8)^2 =\)

\(=0,01x^2 - \cancel{1,6x} + 64 + 0,01x^2 + \cancel{1,6x} + 64=\)

\(= 0,02x^2 + 128\)

При \(x = -10\):

\(0,02 \cdot 100 + 128 = 2 + 128 = 130\)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений,

2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

3) При раскрытии формул, использовали свойство степени:

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)

4) Умножение одночлена на многочлен:

\(a(b+c) = ab + ac\).

5) Вычитание одного многочлена из другого: у многочлена, перед которым стоит знак минус, при раскрытии скобок нужно поменять все знаки на противоположные.

6) Правило сложения подобных членов: складываем коэффициенты при одинаковых степенях переменных:

\(ax + bx=(a+b)x\).

а) Для упрощения раскрыли \((x-10)^2\) по формуле квадрата разности и раскрыли произведение \(x(x+80)\). Привели подобные члены:

\(x^2 - x^2 = 0\),

\(-20x - 80x = -100x\),

оставили число \(100\).

При подстановке \(x=0,97\) вычислили по порядку действий.

б) Раскрыли квадрат суммы \((2x+9)^2\) и произведение \(x(4x+31)\). Привели подобные члены:

\(4x^2 - 4x^2 = 0\),

\(36x - 31x = 5x\),

оставили число \(81\).

При \(x=-16,2\) значение равно нулю.

в) Раскрыли оба квадрата: \((2x + 0,5)^2\) и \((2x - 0,5)^2 =\). Привели подобные члены:

\(4x^2 -4x^2=0\),

\(2x+2x=4x\),

\(0,25-0,25=0\).

При \(x=-3,5\) получаем \(-14\).

г) Раскрыли оба квадрата \((0,1x - 8)^2\) и \((0,1x + 8)^2\). Привели квадратичные члены:

\(0,01x^2 + 0,01x^2=0,02x^2\),

\( -1,6x + 1,6x=0\),

\(64 + 64 = 128\).

Подставили \(x=-10\) и вычислили конечное значение \(130\).

а) \(4x^2 + 12x + 9 =\)

\(=(2x)^2 + 2\cdot{2x}\cdot3 + 3^2=\)

\(=(2x + 3)^2=(2x + 3)(2x + 3)\).

б) \(25b^2 + 10b + 1 =\)

\(=(5b)^2 + 2\cdot{5b}\cdot{1} + 1=\)

\(=(5b + 1)^2=(5b + 1)(5b + 1)\).

в) \(9x^2 - 24xy + 16y^2 =\)

\(=(3x)^2 - 2\cdot{3x}\cdot{y} + 16y^2 =\)

\(=(3x - 4y)^2\).

г) \(\tfrac14m^2 + 4n^2 - 2mn =\)

\(\tfrac14m^2 - 2mn + 4n^2 =\)

\(=(\tfrac12m)^2 - 2\cdot{\tfrac12m}\cdot{2n} + (2n)^2 =\)

\(=\bigl(\tfrac12m - 2n\bigr)^2=\)

\(=(\tfrac12m - 2n)(\tfrac12m - 2n)\).

д) \(10xy + 0{,}25x^2 + 100y^2 =\)

\(=0{,}25x^2 + 10xy + 100y^2 =\)

\(=(0{,}5x)^2 + 2\cdot{0,5x}\cdot{10y} + (10y)^2 =\)

\(=\bigl(0,5x + 10y\bigr)^2=\)

\(=(0,5x + 10y)(0,5x + 10y)\).

е) \(9a^2 - ab + \tfrac{1}{36}b^2 =\)

\(=(3a)^2 - 2\cdot{3a}\cdot{\tfrac{1}{6}b} + (\tfrac{1}{6}b)^2 =\)

\(=\bigl(3a - \tfrac{1}{6}b\bigr)^2=(3a - \tfrac{1}{6}b)(3a - \tfrac{1}{6}b)\).

Пояснения:

Использованные формулы:

1) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений,

2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

Только формулы использовали в обратную сторону, при этом учитывали свойство степени:

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)

Затем квадрат двучлена представляли в виде произведения двух таких двучленов согласно определению степени.