Упражнение 831 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 169

а) \((12a - 1)^2 - 1 = \)

\(=144a^2 - 24a + \cancel1 - \cancel1=\)

\(=144a^2 - 24a\).

б) \((2a + 6b)^2 - 24ab =\)

\(=4a^2 + \cancel{24ab} + 36b^2 - \cancel{24ab}=\)

\(=4a^2 + 36b^2\).

в) \(121 - (11 - 9x)^2 = \)

\(=121 - (121 - 198x + 81x^2)=\)

\(=\cancel{121} - \cancel{121} + 198x - 81x^2\)

\(=-81x^2 + 198x\).

г) \(a^2b^2 - (ab - 7)^2 = \)

\(=a^2b^2 - (a^2b^2 - 14ab + 49)=\)

\(=\cancel{a^2b^2} - \cancel{a^2b^2} + 14ab - 49=\)

\(=14ab - 49\)

д) \(b^2 + 49 - (b - 7)^2 =\)

\(=b^2 + 49 - (b^2 - 14b + 49)=\)

\(=\cancel{b^2} + \cancel{49} - \cancel{b^2} +14b - \cancel{49}=14b\).

е) \(a^4 - 81 - (a^2 + 9)^2 = \)

\(=a^4 - 81 - (a^4 + 18a^2 + 81)=\)

\(= \cancel{a^4} - \cancel{a^4} - 18a^2 - 81 - 81=\)

\(=-18a^2 - 162\).

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений,

2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

3) При раскрытии формул, использовали свойство степени:

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)

4) Вычитание одного многочлена из другого: у многочлена, перед которым стоит знак минус, при раскрытии скобок нужно поменять все знаки на противоположные.

5) Сокращение противоположных членов, так как их сумма равна нулю.

Пункт а): раскрыли квадрат разности \((12a - 1)^2\), затем из полученного многочлена вычли 1, сократив единичные члены.

Пункт б): раскрыли квадрат суммы \((2a + 6b)^2\), после чего вычли \(24ab\), сократив средний член.

Пункт в): раскрыли квадрат разности \((11 - 9x)^2\), затем выполнил вычитание из 121, сократив \(121\).

Пункт г): раскрыли \((ab - 7)^2\) и вычли из \(a^2b^2\), после чего сократили \(a^2b^2\).

Пункт д): раскрыли \((b - 7)^2\) и вычли из \(b^2 + 49\), сократив \(b^2\) и 49.

Пункт е): раскрыли \((a^2 + 9)^2\), вычли из \(a^4 - 81\), сократив \(a^4\) и объединив числа \(-81 - 81 = -162\).

\( a^3 + a^2 + 2a + 2 =\)

\(=(a^3 + a^2) + (2a + 2)=\)

\(= a^2(a + 1) + 2(a + 1)= \)

\( =(a^2 + 2)\,(a + 1). \)

Пояснения:

Использованные приёмы и формулы:

— Группировка: разделили многочлен на два двучлена с общим множителем.

— Формула вынесения общего множителя:

\(ab + cb = (a + c)\,b\).

В результате получили окончательный ответ:

\((a + 1)(a^2 + 2)\).