Упражнение 802 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть сторона квадрата равна \(x\) см. Тогда стороны прямоугольника \(x - 2\) см и \(x + 5\) см. Известно, что площадь квадрата на 50 см² меньше площади прямоугольника.

1) Составим уравнение:

\( x^2 = (x - 2)(x + 5) - 50. \)

\( x^2 = x^2 + 5x - 2x - 10 - 50\)

\(x^2 = x^2 + 3x - 60 \)

\(x^2 - x^2 - 3x = - 60 \)

\( -3x = -60 \)

\( x = \frac{60}{3}. \)

\( x = 20 \text{ (см})\) - сторона квадрата.

2) \( S = x^2 = 20^2 = 400\text{ (см}^2) \) - площадь квадрата.

Ответ: площадь квадрата равна \(400\text{ (см}^2). \)

Пояснения:

Первым шагом обозначили сторону квадрата переменной \(x\), что позволило выразить стороны прямоугольника: \(x - 2\) см и \(x + 5\) см.

Далее составили уравнение, исходя из разницы между площадями квадрата и прямоугольника (площадь квадрата равна квадрату его стороны; площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины).

Раскрыли скобки, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена, перенесли слагаемые с переменной в левую часть уравнения, изменив их знак, привели подобные члены и сократили противоположные члены \(x^2\).

Получили простое линейное уравнение \(3x - 60 = 0\), откуда нашли сторону квадрата \( x = 20 \text{ (см})\).

В конце вычислили площадь квадрата.

а) \( n^2 + (n + 2)^2 + (n + 9)^2 \;=\; (n - 1)^2 + (n + 5)^2 + (n + 7)^2 + 10 \)

При \(n = 3\):

\(3^2 + (3 + 2)^2 + (3 + 9)^2 = 9 + 5^2 + 12^2 = 9 + 25 + 144 = 178\). 

\((3 - 1)^2 + (3 + 5)^2 + (3 + 7)^2 + 10 = 2^2 + 8^2 + 10^2 + 10 = 4 + 64 + 100 + 10 = 178\).

\(178 = 178\) - верно.

б) 1)  \( n^2 + (n + 2)^2 + (n + 9)^2 =\)

\(= n^2 + (n^2 + 4n + 4) + (n^2 + 18n + 81) =\)

\(= n^2 + n^2 + 4n + 4 + n^2 + 18n + 81 =\)

\(=3n^2 + 22n + 85. \)

2) \((n - 1)^2 + (n + 5)^2 + (n + 7)^2 + 10 =\)

\( =(n^2 - 2n + 1) + (n^2 + 10n + 25) + (n^2 + 14n + 49) + 10 =\)

\(= n^2 - 2n + 1 + n^2 + 10n + 25 + n^2 + 14n + 49 + 10 =\)

\(=3n^2 + ( -2n + 10n + 14n ) + (1 + 25 + 49 + 10)= \)

\(= 3n^2 + 22n + 85. \)

3) \(3n^2 + 22n + 85 = 3n^2 + 22n + 85\) - верно при любом \(n\).

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) Формулы раскрытия скобок:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений,

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

2) Сложение многочленов: нужно объединять одинаковые степени \(n^2\), \(n\) и свободные члены.

3) Тождественное равенство многочленов: два многочлена равны при всех \(n\), если равны коэффициенты при одинаковых степенях.

В пункте а) мы подставили конкретное значение \(n=3\) и убедились, что обе части дают одно и то же число.

В пункте б) мы расписали каждую скобку по формуле и затем сложили подобные члены, получив выражения одной и той же формы

\(3n^2 + 22n + 85\).

Это доказывает тождественное равенство при любом \(n\).