Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№807 учебника 2023-2025 (стр. 163):
Разложите на множители многочлены:
а) \(a^3 - 2a^2 + 2a - 4\);
б) \(x^3 - 12 + 6x^2 - 2x\);
в) \(c^4 - 2c^2 + c^3 - 2c\);
г) \(-y^6 - y^5 + y^4 + y^3\);
д) \(a^2b - b^2c + a^2c - bc^2\);
е) \(2x^3 + xy^2 - 2x^2y - y^3\);
ж) \(16ab^2 - 10c^3 + 32ac^2 - 5b^2c\);
з) \(6a^3 - 21a^2b + 2ab^2 - 7b^3\).
№807 учебника 2013-2022 (стр. 167):
Докажите тождество:
а) \((a - b)^2 = (b - a)^2\);
б) \(( -a - b )^2 = (a + b)^2\).
№807 учебника 2023-2025 (стр. 163):
Вспомните:
№807 учебника 2013-2022 (стр. 167):
Вспомните:
№807 учебника 2023-2025 (стр. 163):
а) \(a^3 - 2a^2 + 2a - 4 =\)
\(=(a^3 - 2a^2) + (2a - 4) =\)
\(=a^2(a - 2) + 2(a - 2) =\)
\(=(a^2 + 2)(a - 2).\)
б) \(x^3 + 6x^2 - 2x - 12 =\)
\(=(x^3 + 6x^2) - (2x + 12) =\)
\(x^2(x + 6) - 2(x + 6) =\)
\(=(x^2 - 2)(x + 6).\)
в) \(c^4 + c^3 - 2c^2 - 2c =\)
\(=(c^4 + c^3) - (2c^2 + 2c) =\)
\(=c^3(c + 1) - 2c(c + 1) =\)
\((c^3 - 2c)(c + 1) =\)
\(=c(c^2 - 2)(c + 1).\)
г) \(-y^6 - y^5 + y^4 + y^3 =\)
\(=-(y^6 + y^5) + (y^4 + y^3) =\)
\(=-y^5(y + 1) + y^3(y + 1) =\)
\(=( -y^5 + y^3)(y + 1) =\)
\(=-y^3(y^2 - 1)(y + 1) =\)
\(=-y^3(y - 1)(y + 1)^2.\)
д) \(a^2b + a^2c - b^2c - bc^2 =\)
\(=(a^2b + a^2c) - (b^2c + bc^2) =\)
\(=a^2(b + c) - bc(b + c) =\)
\(=(a^2 - bc)(b + c).\)
е) \(2x^3 - 2x^2y + xy^2 - y^3 =\)
\(=(2x^3 - 2x^2y) + (xy^2 - y^3) =\)
\(=2x^2(x - y) + y^2(x - y) =\)
\(=(2x^2 + y^2)(x - y).\)
ж) \(16ab^2 - 5b^2c + 32ac^2 - 10c^3 =\)
\(=(16ab^2 - 5b^2c) + (32ac^2 - 10c^3) =\)
\(=b^2(16a - 5c) + 2c^2(16a - 5c) =\)
\(=(b^2 + 2c^2)(16a - 5c).\)
з) \(6a^3 - 21a^2b + 2ab^2 - 7b^3 =\)
\(=(6a^3 - 21a^2b) + (2ab^2 - 7b^3) =\)
\(=3a^2(2a - 7b) + b^2(2a - 7b) =\)
\(=(3a^2 + b^2)(2a - 7b).\)
Пояснения:
При упрощении каждого выражения применяли группировку по двум членам и выносили общий множитель, при этом учитывали то, что при вынесении за скобки отрицательного множителя, знаки оставшихся слагаемых в скобках нужно поменять на противоположные. Затем в каждом выражении получались одинаковые скобки, которые также выносили за скобки, как одинаковый множитель, а во вторые скобки записывали оставшиеся слагаемые.
Так при разложении учитывали свойство степени:
\(a^m\cdot{a^n}=a^{m+n}\),
из которого следует то, что за скобки можно вынести букву в меньшей степени.
а) Сначала группа \(a^3 - 2a^2\) и группа \(2a - 4\). Во второй вынесен общий множитель 2, в первой – \(a^2\). Затем общий множитель \((a - 2)\).
б) Аналогично: группы \(x^3 + 6x^2\) и \(2x + 12\), затем общий множитель \((x + 6)\).
в) Группы \(c^4 + c^3\) и \(-2c^2 - 2c\), общий множитель \((c + 1)\), затем из \((c^3 - 2c)\) вынесен \(c\).
г) Группы с отрицательным знаком: \(-(y^6 + y^5)\) и \((y^4 + y^3)\), общий множитель \((y + 1)\), после чего из \((-y^5 + y^3)\) вынесен \(-y^3\) и учтено \((y^2 - 1) = (y - 1)(y + 1)\).
д) Группы \((a^2b + a^2c)\) и \((b^2c + bc^2)\), общий множитель \((b + c)\), внутри первая группа дала \(a^2\), вторая – \(bc\).
е) Группы \((2x^3 - 2x^2y)\) и \((xy^2 - y^3)\), общий множитель \((x - y)\), а внутри – \(2x^2\) и \(y^2\).
ж) Группы \((16ab^2 - 5b^2c)\) и \((32ac^2 - 10c^3)\), общий множитель \((16a - 5c)\), внутри – \(b^2\) и \(2c^2\).
з) Группы \((6a^3 - 21a^2b)\) и \((2ab^2 - 7b^3)\), общий множитель \((2a - 7b)\), внутри – \(3a^2\) и \(b^2\).
№807 учебника 2013-2022 (стр. 167):
а) \( (a - b)^2 =(b - a)^2\)
\( a^2 - 2ab + b^2= b^2 - 2ba + a^2 \)
\(a^2 - 2ab + b^2 =a^2 - 2ab + b^2 \)
б) \( ( -a - b )^2 = (a + b)^2.\)
\(-(a + b)^2 = (a + b)^2 \)
\((a + b)^2 = (a + b)^2 \)
Пояснения:
1. Формула квадрата разности:
\( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2. \)
2. Квадрат выражения нечувствителен к смене знака перед ним:
\(( -a-b )^2 = (a+b)^2 \),
В пункте а) оба выражения при раскрытии дают одно и то же многочлен \(a^2 - 2ab + b^2\).
В пункте б) достаточно заметить, что под знаком квадрата стоит отрицание суммы, которое при возведении в квадрат исчезает.
Вернуться к содержанию учебника