Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№805 учебника 2023-2025 (стр. 163):
Периметр прямоугольника равен 30 см. Если его длину уменьшить на 3 см, а ширину увеличить на 5 см, то площадь прямоугольника уменьшится на 8 см². Найдите площадь первоначального прямоугольника.
№805 учебника 2013-2022 (стр. 167):
Преобразуйте в многочлен:
а) \((-x + 5)^2\);
б) \((-z - 2)^2\);
в) \((-n + 4)^2\);
г) \((-m - 10)^2\).
№805 учебника 2023-2025 (стр. 163):
Вспомните:
№805 учебника 2013-2022 (стр. 167):
Вспомните:
№805 учебника 2023-2025 (стр. 163):
Пусть длина исходного прямоугольника через \(x\) см, тогда его ширина
\(30 : 2 - x = 15 - x\) см.
Новая длина \(x - 3\) см, а ширина
\(15 - x + 5 = 20 - x\) см.
Известно, что новая площадь на 8 см² меньше исходной.
1) Составим уравнение:
\( (x - 3)(20 - x) = x(15 - x) - 8 \)
\(20x -x^2 - 60 + 3x = 15x - x^2 - 8\)
\( -x^2 + 23x - 60 = 15x - x^2 - 8\)
\( -x^2 + x^2 + 23x - 15x= 60 - 8\)
\(8x = 52\)
\(x=\frac{52}{8}\)
\( x = 6{,}5 \text{ (см)}\) - длина исходного прямоугольника.
| - | 5 | 2 | 8 | |||||||||||
| 4 | 8 | 6 | , | 5 | ||||||||||
| - | 4 | 0 | ||||||||||||
| 4 | 0 | |||||||||||||
| 0 |
2) \(15 - 6,5 = 8{,}5\text{ (см)}\) - ширина исходного прямоугольника.
3) \( S = 6{,}5 \cdot 8{,}5 = 55{,}25\text{ (см}^2) \) - площадь исходного прямоугольника.
| × | 6 | 5 | ||
| 8 | 5 | |||
| + | 3 | 2 | 5 | |
| 5 | 2 | 0 | ||
| 5 | 5 | 2 | 5 |
Ответ: площадь исходного прямоугольника равна \(55{,}25\text{ (см}^2) .\)
Пояснения:
1. Чтобы найти одну из сторон прямоугольника, нужно периметр разделить на 2 и вычесть вторую сторону. Следовательно, обозначив длину прямоугольника через \(x\) см, его ширина будет равна:
\(30 : 2 - x = 15 - x\) см.
Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины, тогда площадь исходного прямоугольника:
\(x(15 - x) \) см2.
2. После уменьшения длины на 3 см и увеличения ширины на 5 см, новые длина и ширина прямоугольника стали соответственно равны
\(x - 3\) см и \(15 - x + 5 = 20 - x\) см.
Тогда площадь нового прямоугольника:
\((x - 3)(20 - x)\) см2.
3. Условие о том, что площадь
\((x - 3)(20 - x)\) меньше исходной площади \(x(15 - x)\) на 8 см2 выражает уравнение уравнение:
\( (x - 3)(20 - x) = x(15 - x) - 8 \).
3. Раскрыли скобки в левой части уравнения, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена, и раскрыли скобки в правой части уравнения, умножив \(x\) на каждый компонент в скобках.
4. Перенесли слагаемые с переменной в левую часть уравнения, изменив их знак, привели подобные члены и сократили противоположные члены.
5. Упростив уравнение, нашли длину исходного прямоугольника \(x=6{,}5\) см.
6. Нашли ширину исходного прямоугольника:
\(15 - 6,5 = 8{,}5\text{ (см)}\).
7. Перемножив длину и ширину, нашли площадь исходного прямоугольника:
\( S = 6{,}5 \cdot 8{,}5 = 55{,}25\text{ (см}^2) \).
№805 учебника 2013-2022 (стр. 167):
а) \((-x+5)^2=(5 - x)^2 =\)
\(=5^2 - 2\cdot5\cdot x + x^2 =\)
\(=25 - 10x + x^2.\)
б) \((-z-2))^2 = (z+2)^2 =\)
\(z^2 + 2\cdot z\cdot2 + 2^2 =\)
\(=z^2 + 4z + 4.\)
в) \((-n+4)^2=(4 - n)^2 =\)
\(=4^2 - 2\cdot4\cdot n + n^2 =\)
\(=16 - 8n + n^2.\)
г) \((-m-10)^2 = (m+10)^2 =\)
\(m^2 + 2\cdot m\cdot10 + 10^2 =\)
\(=m^2 + 20m + 100.\)
Пояснения:
Правила, использованные при преобразованиях:
\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \)
\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2,\)
\(( -a-b )^2 = (a+b)^2. \)
а) Меняем местами слагаемые:
\((-x+5) = (5 - x)\),
затем применяем формулу квадрата разности.
б) Учитываем то, что
\(( -z-2 )^2 = (z+2)^2\),
затем применяем формулу квадрата суммы.
в) Меняем местами слагаемые:
\((-n+4) = (4 - n)\),
затем применяем формулу квадрата разности.
г) Учитываем то, что
\((-m - 10)^2 = (m+10)^2\),
затем применяем формулу квадрата суммы.
Вернуться к содержанию учебника