Упражнение 740 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 156

\(a = 7k + 3\), где \(k\) — целое.

\(-12 < a < 12\)

\(7\cdot(-2) + 3 = -14 + 3=-11\),

\(7\cdot(-1) + 3 = -7 + 3=-4\),

\(7\cdot0 + 3 = 0 + 3=3\),

\(7\cdot(1) + 3 = 7 + 3=10\).

Ответ: -11; -4; 3; 10.

Пояснения:

1. Деление с остатком: любое целое \(a\) при делении на 7 можно записать как \(a=7k+r\), где \(0\le r<7\). Здесь \(r=3\), тогда \(a=7k+3\).

2. Нахождение \(a\): подбираем такие целые \(k\), при которых \(-12 < a < 12\).

\(\Bigl(\tfrac{7}{4}x^4 - \tfrac{1}{8}x^3 - \tfrac{5}{4}x^2 + \tfrac{2}{5}x + \tfrac{5}{7}\Bigr) - \bigl(0{,}75x^4 - 0{,}125x^3 - 2{,}25x^2 + 0{,}4x - \tfrac{3}{7}\bigr)=\)

\(=1,75x^4 - 0,125x^3 - 1,25x^2 + 0,4x + \tfrac{5}{7} - 0{,}75x^4 + 0{,}125x^3 + 2{,}25x^2 - 0{,}4x + \tfrac{3}{7}=\)

\( = \bigl(1{,}75x^4 - 0{,}75x^4) +(-0{,}125x^3 + 0{,}125x^3) + (-1{,}25x^2 + 2{,}25x^2) + (0{,}4x - 0{,}4x) +(\tfrac{5}{7} +\tfrac{3}{7})= \)

\( = (1{,}75 - 0{,}75)x^4 +(-0{,}125 + 0{,}125)x^3 +(-1{,}25 + 2{,}25)x^2 +(0{,}4 - 0{,}4)x +\Bigl(\tfrac{5}{7} + \tfrac{3}{7}\Bigr) =\)

\(=x^4 + x^2 + \tfrac{8}{7}=\)

\(=x^4 + x^2 + 1\tfrac{1}{7} > 0\) при любом значении \(x\), так как \(x^4\ge0\) и \(x^2\ge0\) при любом значении \(x\), а \(1\tfrac{1}{7}>0.\)

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

1. Вычитание многочленов. При вычитании раскрыли скобки и поменяли знаки у членов второго многочлена.

2. Сбор подобных членов. Сгруппировали по степеням \(x\): коэффициенты при \(x^4\), \(x^3\), \(x^2\), \(x\) и свободные члены (числа), при этом преобразовали обыкновенные дроби в десятичные, если это возможно.

3. Положительность суммы одночленов. Для любого \(x\) справедливо \(x^4\ge0\) и \(x^2\ge0\), а

\(1\tfrac{1}{7}>0\). Следовательно,

\(x^4 + x^2 + 1\tfrac{1}{7} > 0\) при любом \(x\).

4. Вывод. Разность исходных многочленов тождественно равна \(x^4 + x^2 + 1\tfrac{1}{7}\) и поэтому всегда положительна.