Упражнение 688 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(8m(a - 3) + n(a - 3) =\)

\(=(a - 3)(8m + n)\).

б) \((p^2 - 5) - q(p^2 - 5) =\)

\(=(p^2 - 5)(1 - q)\).

в) \(x(y - 9) + y(9 - y) =\)

\(=x(y - 9) - y(y - 9) =\)

\(=(y - 9)(x - y)\).

г) \(7(c + 2) + (c + 2)^2 =\)

\(=(c + 2)\bigl(7 + (c + 2)\bigr) =\)

\(=(c + 2)(c + 9)\).

д) \((a - b)^2 - 3(b - a) =\)

\(=(a - b)^2 + 3(a - b) =\)

\(=(a - b)\bigl(a - b + 3\bigr)\).

е) \(- (x + 2y) - 4(x + 2y)^2 =\)

\(=-(x + 2y)\bigl(1 + 4(x + 2y)\bigr)=\)

\(=-(x + 2y)\bigl(1 + 4x + 8y\bigr)\).

Пояснения:

Использованные правила и формулы:

1) Распределительный закон:
\[a(b +c) =ab+ac\]

2) Обратный распределительный закон (вынос общего множителя):
\[ab+ac =a(b +c)\]

3) Вынесение минуса за скобки:
\[c - b = -(b - c),\quad y - 5 = -(5 - y)\]

Подзадача а): общий множитель \((a-3)\), после выноса остаётся \(8m+n\).

Подзадача б): общий множитель \((p^2-5)\), внутри скобки \(1-q\).

Подзадача в): заменили \(9-y=-(y-9)\), получили \(x(y-9)-y(y-9)\), вынесли \((y-9)\), внутри \(x-y\).

Подзадача г): общий множитель \((c+2)\), внутри \(7+(c+2)=c+9\).

Подзадача д): заменили \(-3(b-a)=3(a-b)\), затем общий множитель \((a-b)\), внутри \((a-b)+3\).

Подзадача е): общий множитель \(-(x+2y)\), внутри \(1+4(x+2y)\).

\( (3a - 2b)(2a - 3b)-6a(a - b)+7ab =\)

\(= \cancel{6a^2} - \cancel{9ab} - \cancel{4ab} + 6b^2 - \cancel{6a^2} + \cancel{6ab} +\cancel{7ab}=6b^2\)

Ответ: правильный ответ — 3.

Пояснения:

Использованные правила:

1) Распределительное свойство умножения (умножение одночлена на многочлен):

\(x(y+z)=xy+xz\).

2) Правило раскрытия произведения двух скобок:

\[(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.\]

3) Приведение подобных членов:

\(k_1X + k_2X = (k_1 + k_2)X.\)

4) Умножение степеней:

\(а^n + a^m=a^{m+n}\).

5) Правило распределительного свойства при вычитании:

\(A - (B - C) = A - B + C\).

Пояснение вычислений:

– Раскрыли скобки \((3a - 2b)(2a - 3b)\) по правилу произведения скобок и получили \(6a^2 - 13ab + 6b^2\).

– Раскрыли скобки \(-6a(a - b)\), используя распределительное свойство умножения, учитывая знак "минус", и получили \(-6a^2 + 6ab\).

– Затем выполнили сложение полученных выражений и прибавили к ним \(7ab\) , что дало \(6a^2 - 9ab - 4ab + 6b^2 - 6a^2 + 6ab +7ab\).

– Наконец, привели подобные, с \(a^2\) и \(ab\), которые в сумме дали нуль, и получили: \(6b^2\).

Так как результат зависит только от \(b\), для вычисления исходного выражения достаточно знать значение \(b\), а от \(a\) оно не зависит.