Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№686 учебника 2023-2025 (стр. 146):
Укажите общий множитель для всех слагаемых суммы и вынесите его за скобки:
а) \(2a(x + y) + b(x + y)\);
б) \(y(a - b) - (a - b)\);
в) \((c + 3) - x(c + 3)\);
г) \(9(p - 1) + (p - 1)^2\);
д) \((a + 3)^2 - a(a + 3)\);
е) \(-3b(b - 2) + 7(b - 2)^2\).
№686 учебника 2013-2022 (стр. 148):
Запишите в виде многочлена выражение:
а) \((x+1)(x+2)(x+3)\);
б) \((a-1)(a-4)(a+5)\).
№686 учебника 2023-2025 (стр. 146):
№686 учебника 2013-2022 (стр. 148):
Вспомните:
№686 учебника 2023-2025 (стр. 146):
а) \(2a(x + y) + b(x + y) =\)
\(=(x + y)(2a + b)\).
б) \(y(a - b) - (a - b) = \)
\(=(a - b)(y - 1)\).
в) \((c + 3) - x(c + 3) =\)
\(=(c + 3)(1 - x)\).
г) \(9(p - 1) + (p - 1)^2 =\)
\(=(p - 1)\bigl(9 + (p - 1)\bigr) =\)
\(=(p - 1)(p + 8)\).
д) \((a + 3)^2 - a(a + 3) =\)
\(=(a + 3)\bigl((a + 3) - a\bigr) = 3(a + 3)\).
е) \(-3b(b - 2) + 7(b - 2)^2 =\)
\(=(b - 2)\bigl(-3b + 7(b - 2)\bigr) =\)
\(=(b - 2)(4b - 14)\).
Пояснения:
Использованные правила и формулы:
1) Обратный распределительный закон (вынос общего множителя):
\( ab + ac = a(b + c),\)
\( ab - ac = a(b - c). \)
Подзадача а): в выражении \(2a(x + y) + b(x + y)\) общий множитель \((x+y)\), после выноса остаётся \(2a+b\).
Подзадача б): оба слагаемых содержат \((a-b)\), внутри скобки получаем \(y-1\).
Подзадача в): общий множитель \((c+3)\), внутри скобки — \(1 - x\).
Подзадача г): у \(9(p-1)\) и \((p-1)^2\) общий множитель \((p-1)\), после выноса — \(9+(p-1)=p+8\).
Подзадача д): в \((a+3)^2\) и \(-a(a+3)\) общий множитель \((a+3)\), внутри \((a+3)-a=3\).
Подзадача е): оба слагаемых содержат \((b-2)\), внутри \(-3b+7(b-2)=-3b+7b-14=4b-14\).
№686 учебника 2013-2022 (стр. 148):
Решение:
а) \((x+1)(x+2)(х+3)=\)
\(=(x^2+2x+х+2)(x+3)=\)
\(=(x^2+3x+2)(x+3)=\)
\(=x^3 + 3x^2+ 3x^2+ 9x + 2x + 6 =\)
\(=x^3+6x^2+11x+6\).
б) \((a-1)(a-4)(а+5)=\)
\(=(a^2-4a-а+4)(a+5)=\)
\(=(a^2-5a+4)(a+5)=\)
\(=a^3 + 5a^2 - 5a^2 - 25a + 4a + 20=\)
\(=a^3-21a+20\).
Пояснения:
Использованные правила:
1) Распределительное свойство умножения (раскрытие скобок):
\(x(y+z)=xy+xz\).
2) Правило раскрытия произведения двух скобок:
\[(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.\]
3) Приведение подобных членов:
\(k_1X + k_2X = (k_1 + k_2)X.\)
4) Умножение степеней:
\(а^n + a^m=a^{m+n}\).
Для пункта а):
Сначала перемножили первые два двучлена по правилу распределения:
\((x+1)(x+2)=\)
\(=x\cdot x + x\cdot2 + 1\cdot x + 1\cdot2 =\)
\(=(x^2+2x+х+2)=\)
\(=x^2+3x+2\).
Затем умножили полученный трёхчлен на третий множитель:
\((x^2+3x+2)(x+3)=\)
\(=x^2\cdot x + x^2\cdot3 + 3x\cdot x + 3x\cdot3 + 2\cdot x + 2\cdot3 =\)
\(=x^3 + 3x^2+ 3x^2+ 9x + 2x + 6 =\)
\(= x^3+6x^2+11x+6\).
Для пункта б):
Сначала:
\((a-1)(a-4)=\)
\(=a\cdot a + a\cdot(-4) + (-1)\cdot a + (-1)\cdot(-4) =\)
\(=(a^2-4a-а+4)=\)
\(=a^2 -5a +4\).
Затем:
\( (a^2-5a+4)(a+5)=\)
\(=a^2\cdot a + a^2\cdot5 + (-5a)\cdot a + (-5a)\cdot5 + 4\cdot a + 4\cdot5 =\)
\(=a^3 + 5a^2 - 5a^2 - 25a + 4a + 20=\)
\(= a^3 -21a +20\).
Таким образом, в виде многочленов получаем:
а) \(\;x^3+6x^2+11x+6\);
б) \(\;a^3-21a+20\).
Вернуться к содержанию учебника