Упражнение 683 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(c^3 - c^4 + 2c^5 =\)

\(=c^3\bigl(1 - c + 2c^2\bigr)\).

б) \(5m^4 - m^3 + 2m^2 =\)

\(=m^2\bigl(5m^2 - m + 2\bigr)\).

в) \(4x^4 + 8x^3 - 2x^2 = \)

\(=2x^2\bigl(2x^2 + 4x - 1\bigr)\).

г) \(5a - 5a^2 - 10a^4 =\)

\(=5a\bigl(1 - a - 2a^3\bigr)\).

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) Распределительный закон:
\[a(b +c+d) =ab+ac+ad\]

2) Обратный распределительный закон (вынос общего множителя):
\[ab+ac+ad =a(b +c+d)\]

3) Вынос наименьшей степени при работе со степенями:
\[a^p + a^q + a^r = a^{\min(p,q,r)}\bigl(a^{p-\min(p,q,r)} + a^{q-\min(p,q,r)} + a^{r-\min(p,q,r)}\bigr)\]

Подзадача а): в выражении \(c^3 - c^4 + 2c^5\) наименьшая степень переменной — 3, выносим \(c^3\). Внутри скобки остаётся \(1 - c + 2c^2\).

Подзадача б): у членов \(5m^4\), \(-m^3\) и \(2m^2\) наименьшая степень — 2, выносим \(m^2\), внутри \((5m^2 - m + 2)\).

Подзадача в): общий множитель у \(4x^4, 8x^3, -2x^2\) — \(2x^2\); после выноса остаётся \((2x^2 + 4x - 1)\).

Подзадача г): в мономах \(5a\), \(-5a^2\), \(-10a^4\) общий множитель \(5a\); внутри скобки \((1 - a - 2a^3)\).

Пояснения:

Чтобы представить выражение в виде многочлена, нужно выполнить умножение многочлена на многочлен.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, можно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить (мы говорим об алгебраической сумме - выражение, которое можно представить в виде суммы положительных и отрицательных чисел). В решении выделены одинаковым цветом подобные слагаемые, их мы складываем (вычитаем), тем самым упрощая выражение.

Схема умножения многочлена на многочлен из пункта а):

В пунктах б), д), ж) действуем аналогично.

Схема умножения многочлена на многочлен из пункта в):

В пунктах г), е), з) действуем аналогично.