Упражнение 680 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x^5 + x^4 - x^3 =\)

\(=x^3\bigl(x^2 + x - 1\bigr)\).

б) \(y^7 - y^5 - y^2 =\)

\(=y^2\bigl(y^5 - y^3 - 1\bigr)\).

в) \(a^4 + a^5 - a^8 =\)

\(=a^4\bigl(1 + a - a^4\bigr)\).

г) \(-b^{10} - b^{15} - b^{20} =\)

\(=-b^{10}\bigl(1 + b^5 + b^{10}\bigr)\).

Пояснения:

Использованные правила и формулы:

1) Распределительный закон:
\[a(b +c+d) =ab+ac+ad\]

2) Обратный распределительный закон (вынос общего множителя):
\[ab+ac+ad =a(b +c+d)\]

3) Свойство множителя −1:
\[-k·x = -kx\] и \[-1·(x + y+z) = -(x + y+z)\]

Подзадача а): в слагаемых \(x^5\), \(x^4\) и \(-x^3\) наименьшая степень \(x^3\). Выносим \(x^3\) за скобку, внутри остаётся \(x^2 + x - 1\).

Подзадача б): у \(y^7\), \(-y^5\) и \(-y^2\) наименьшая степень \(y^2\). Выносим \(y^2\), внутри скобки \(y^5 - y^3 - 1\).

Подзадача в): среди степеней \(4\), \(5\) и \(8\) наименьшая — \(4\). Выносим \(a^4\), внутри \((1 + a - a^4)\).

Подзадача г): у членов \(-b^{10}\), \(-b^{15}\), \(-b^{20}\) общий множитель \(-b^{10}\). Выносим его за скобку, внутри \((1 + b^5 + b^{10})\).

Пояснения:

Чтобы представить выражение в виде многочлена, нужно выполнить умножение многочлена на многочлен.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, можно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить (мы говорим об алгебраической сумме - выражение, которое можно представить в виде суммы положительных и отрицательных чисел). В решении выделены одинаковым цветом подобные слагаемые, их мы складываем (вычитаем), тем самым упрощая выражение.

Также, выполняя умножение многочлена на многочлен, помним, что при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степени складывают, а основание оставляют тем же.